如图四棱锥的底面是边长为菱形分别是的中点求证平面若求平面与平面所成角的余弦值

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171028. （2025•高新一中•高二下期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC＝60°，E，F分别是AB，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若PC⊥AB，PC＝

，PB＝2，求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．

共享时间:2025-04-23 难度:2

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[考点]

直线与平面平行，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，

[答案]

（1）证明见解析；（2）

．

[解析]

解：（1）证明：取PC的中点为G，连接FG，BG．
∵点F，G分别是PD，PC的中点，
∴FG是△PDC的中位线，即FG∥CD，

，
在菱形ABCD中，BE∥CD，

．
∴FG∥BE，FG＝BE，即四边形FGBE为平行四边形，则EF∥BG，
又BG⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
（2）连接PE，CE，
∵AB⊥PC，AB⊥CE，PC∩CE＝C，PC⊂平面PCE，CE⊂平面PCE，
∴AB⊥平面PCE，
又PE⊂平面PCE，∴AB⊥PE，
∴

，
又

，则PC²＝PE²+CE²＝6，∴PE⊥CE，
即直线AB，CE，PE两两垂直，
如图，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，

则

，A（0，﹣1，0），B（0，1，0），

，

，
设平面PAD的法向量为

，平面PBC的法向量为

，
则

，则

，得

，
取

．
则

，则

，得

，
取

，
设平面PAD与平面PBC所成角为θ，
则

＝

，
即平面PAD与平面PBC所成角的余弦值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166525. （2024•城关中学•高二上二月）已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A₁A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA₁＝2，AD＝DC＝1．N是B₁C₁的中点，M是DD₁的中点．
（1）求证D₁N∥平面CB₁M；
（2）求平面CB₁M与平面BB₁CC₁的夹角余弦值．

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:2

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171047. （2025•高新一中•高二下期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC＝60°，E，F分别是AB，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若PC⊥AB，PC＝

，PB＝2，求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:2

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169312. （2025•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AB＝AC＝CD＝2BE＝4，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC，平面ABC⊥平面BCDE，O为BC中点．
（1）证明：AO⊥平面BCDE；
（2）求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值；
（3）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求

的值．

共享时间:2025-02-12 难度:3 相似度:1.67

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166447. （2024•西工大附中•高三上二月）已知边长为4的菱形ABCD（如图1），

与BD相交于点O，E为线段AO上一点，将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥A﹣BCD（如图2）．
（1）证明：BD⊥CE；
（2）若三棱锥A﹣BCD的体积为8，二面角B﹣CE﹣O的余弦值为

，求OE的长．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5

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171890. （2023•长安区一中•高一下期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC₁，点D是AB的中点．求证：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）A₁B⊥B₁C．

共享时间:2023-05-15 难度:1 相似度:1.5

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166329. （2024•西安中学•高二上二月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝2，PA＝BC＝1．
（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值；

共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:1

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169696. （2024•西安八十五中•高一下期末）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点，F为AE的中点．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求三棱锥E﹣BDF的体积．

共享时间:2024-07-08 难度:2 相似度:1

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170078. （2023•铁一中学•高一下期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为棱DC和D₁C₁的中点．
（1）求证：A₁F∥平面AD₁E；
（2）求三棱锥A₁﹣AED₁的体积．

共享时间:2023-07-06 难度:2 相似度:1

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169811. （2023•西安中学•高一下期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为

的等腰三角形，E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：BF∥平面PDE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣BDF的体积．

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:1

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169330. （2025•西安八十五中•高二上期末）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．
（1）求证：BB₁⊥平面ABC；
（2）求平面A₁C₁B与平面B₁C₁B夹角的余弦值．

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:1

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169418. （2024•西安中学•高三上期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，CD∥AB，AB⊥BC，PA⊥PD，BC＝CD＝PA＝PD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面PBC．
（1）若PB的中点为N，求证：CN∥平面PAD；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的正弦值．