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166642. (2024•高新一中•高三上五月) 如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,△ABC是边长为的等边三角形,AD=2,
(1)证明:平面PCD⊥平面PBC
(2)若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为,求PC的长.

共享时间:2024-12-26 难度:2
[考点]
平面与平面垂直,空间向量法求解二面角及两平面的夹角,
[答案]
(1)证明见解答;
(2)2.
[解析]
解:(1)证明:在△ADC中,AD=2,
由余弦定理AC2DA2+DC2﹣2DADCcos∠ADC,得到DC2+2DC﹣8=0,
解得DC=2,所以DADC=2,得到
又因为,所以,即DCCB
又因为PC⊥平面ABCDCB⊂面ABCD,所以PCCB
又因为PCDCCPCDC⊂面PCD,所以BC⊥面PCD
BC⊂面PBC,所以平面PCD⊥平面PBC
(2)由(1)知,CDCBCP 两两互相垂直,
则以CDCBCP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
PCaa>0),因为DC=2,


设平面PAD的一个法向量为,则
,即,取xa,得
所以
由题知,平面PBC的一个法向量为
设平面PAD与平面PBC的夹角为θ,
,整理得到a2=4,解得a=2,
所以PC=2.

[点评]
本题考查了"平面与平面垂直,空间向量法求解二面角及两平面的夹角,",属于"易错题",熟悉题型是解题的关键。
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166893. (2024•高新一中•五模) 如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,△ABC是边长为的等边三角形,AD=2,
(1)证明:平面PCD⊥平面PBC
(2)若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为,求PC的长.

共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:2
166447. (2024•西工大附中•高三上二月) 已知边长为4的菱形ABCD(如图1),BD相交于点OE为线段AO上一点,将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥ABCD(如图2).
(1)证明:BDCE
(2)若三棱锥ABCD的体积为8,二面角BCEO的余弦值为,求OE的长.

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5
166857. (2024•西安八十五中•高二上一月) 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,M为棱AC的中点,ABBCAC=2,AA1
(1)求证:B1C∥平面A1BM
(2)求证:AC1⊥平面A1BM
(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.5
19749. (2021•陕西省•乙卷) 如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCDMBC的中点,且PBAM
(1)证明:平面PAM⊥平面PBD
(2)若PDDC=1,求四棱锥PABCD的体积.
共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1
170368. (2022•长安区一中•高二下期末) 如图1,在矩形ABCD中,BC=2AB=2,EAD中点,将△CDE沿直线CE翻折到△CPE的位置,使得,如图2.
(1)求证:平面PCE⊥平面ABCE
(2)求C到平面PBE的距离.

共享时间:2022-07-05 难度:2 相似度:1
169214. (2025•师大附中•高二上期末) 已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长相等,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.
①证明:平面A1AC⊥平面A1BD
②求直线BC1与平面A1AC所成角的正弦值?

共享时间:2025-02-11 难度:2 相似度:1
169271. (2025•西工大附中•高二上期末) 如图,在四棱锥ABCDE中,ABAEBCCDCDDE,且平面ABE⊥平面BCDE,∠EBC=45°,OBE的中点.
(1)证明:AOCD
(2)求二面角CABE的正弦值.

共享时间:2025-02-18 难度:2 相似度:1
169330. (2025•西安八十五中•高二上期末) 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1CAB=3,BC=5.
(1)求证:BB1⊥平面ABC
(2)求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值.

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:1
169550. (2024•铁一中学•高二上期末) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC.∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCDQAD的中点,M是棱PC上的点,PAPD=2,BCAD=1,CD
(1)求证:平面MQB⊥平面PAD
(2)若二面角MBQC的大小为30°,求直线QM与平面PAD所成角的正弦值.

共享时间:2024-02-22 难度:2 相似度:1
169699. (2024•西安八十五中•高一下期末) 如图1,平面四边形ABCD中,ABACABACACCDEBC的中点,将△ACD沿对角线AC折起,使CDBC,连接BD,得到如图2所示的三棱锥DABC
(1)证明:平面ADE⊥平面BCD
(2)已知直线DE与平面ABC所成的角为,求二面角ABDC的余弦值.

共享时间:2024-07-08 难度:2 相似度:1
169761. (2023•师大附中•高二下期末) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,ACPEPAPDE为棱AB的中点.
(1)证明:平面PAD⊥平面ABCD
(2)若PAAD,∠BAD=60°,求二面角EPDA的正弦值.

共享时间:2023-07-24 难度:2 相似度:1
169918. (2023•长安区一中•高二下期末) 图1是直角梯形ABCDABCD,∠D=90°,AB=4,DC=6,,以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达C1的位置,且,如图2.
(1)证明:平面BC1E⊥平面ADEB
(2)若,求二面角PBEA的大小.

共享时间:2023-07-19 难度:2 相似度:1
170145. (2023•铁一中学•高二下期末) 如图,已知三棱柱ABCA1B1C1,∠ACB=90°,AC1A1CD为线段A1C上的动点,AC1BD
(1)求证:平面ACC1A1⊥平面ABC
(2)若AA1ACD为线段A1C的中点,AC=2BC=2,求B1D与平面A1BC所成角的余弦值.

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:1
170188. (2023•高新一中•高一下期末) 在斜三棱柱ABCABC′中,△ABC是边长为2的正三角形,侧棱,顶点A′在平面ABC的射影为BC边的中点O
(1)求证:平面BCCB′⊥平面AOA′;
(2)求几何体A′﹣BCCB′的体积.

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:1
170596. (2021•西安中学•高二上期末) 如图1,在△MBC中,BM=2BC=4,BMBCAD别为棱BMMC的中点,将△MAD沿AD折起到△PAD的位置,使∠PAB=90°,如图2,连结PBPC

(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD
(2)线段PC上是否存在一点E,使二面角EADP的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

共享时间:2021-02-14 难度:2 相似度:1

dygzsxyn

2024-12-26

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2020*西工大*期末
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