已知四棱柱中底面为梯形平面其中是的中点是的中点求证平面求平面与平面的夹角余弦值

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166525. （2024•城关中学•高二上二月）已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A₁A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA₁＝2，AD＝DC＝1．N是B₁C₁的中点，M是DD₁的中点．
（1）求证D₁N∥平面CB₁M；
（2）求平面CB₁M与平面BB₁CC₁的夹角余弦值．

共享时间:2024-12-24 难度:2

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[考点]

直线与平面平行，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，

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[答案]

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[解析]

（1）证明：取CB₁中点P，连接NP，MP，
因为N是B₁C₁的中点，所以NP∥CC₁，且

，
因为M是DD₁的中点，所以

，且D₁M∥CC₁，
所以D₁M∥NP，D₁M＝NP，
所以四边形D₁MPN是平行四边形，
所以D₁N∥MP，
又MP⊂平面CB₁M，D₁N⊄平面CB₁M，
所以D₁N∥平面CB₁M．

（2）解：在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，AD⊥AB，
所以AB，AD，AA₁两两垂直，
以A为原点，直线AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），B₁（2，0，2），M（0，1，1），C（1，1，0），C₁（1，1，2），
所以

，
设平面CB₁M的法向量为

＝（x₁，y₁，z₁），则

，
令x₁＝1，得

，
设平面BB₁CC₁的法向量为

＝（x₂，y₂，z₂），则

，
令x₂＝1，得

，
设平面CB₁M与平面BB₁CC₁的夹角为θ，
则cosθ＝|cos＜

，

＞|＝|

|＝

＝

，
所以平面CB₁M与平面BB₁CC₁的夹角余弦值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

265588. （2025•陕西省•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD．将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°．
（1）证明：A′B∥平面CD′F；
（2）求面BCD′与面EFD′A′所成二面角的正弦值．

共享时间:2025-06-14 难度:2 相似度:2

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171047. （2025•高新一中•高二下期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC＝60°，E，F分别是AB，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若PC⊥AB，PC＝

，PB＝2，求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:2

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171028. （2025•高新一中•高二下期中）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2菱形，∠ADC＝60°，E，F分别是AB，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若PC⊥AB，PC＝

，PB＝2，求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值．

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:2

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230571. （2025•西工大附中•八模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，AB∥CD，

，M为棱PC的中点．
（1）证明：BM∥平面PAD．
（2）已知PD＝1．
（i）求平面PDB与平面BDM夹角的余弦值．
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是

？若存在，求出

的值；若不存在，说明理由．

共享时间:2025-06-12 难度:3 相似度:1.67

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169312. （2025•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AB＝AC＝CD＝2BE＝4，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC，平面ABC⊥平面BCDE，O为BC中点．
（1）证明：AO⊥平面BCDE；
（2）求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值；
（3）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求

的值．

共享时间:2025-02-12 难度:3 相似度:1.67

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171890. （2023•长安区一中•高一下期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC₁，点D是AB的中点．求证：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）A₁B⊥B₁C．

共享时间:2023-05-15 难度:1 相似度:1.5

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166447. （2024•西工大附中•高三上二月）已知边长为4的菱形ABCD（如图1），

与BD相交于点O，E为线段AO上一点，将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥A﹣BCD（如图2）．
（1）证明：BD⊥CE；
（2）若三棱锥A﹣BCD的体积为8，二面角B﹣CE﹣O的余弦值为

，求OE的长．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5

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230495. （2025•长安区•一模）如图三棱锥P﹣ABC中，四个面均为直角三角形，其中∠APB＝∠APC＝∠ABC＝∠PBC＝90°，且PA＝PB＝BC＝1．取BC中点为E，过E作EF⊥PC于点F．
（1）证明：EF⊥AC；
（2）求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．

共享时间:2025-03-15 难度:1 相似度:1.5

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171008. （2024•华清中学•高二上期中）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，AC＝CB＝2，AA₁＝2

，且AC⊥CB，AA₁⊥底面ABC，E为AB中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求二面角A₁﹣CE﹣A的余弦值．

共享时间:2024-11-22 难度:2 相似度:1

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170896. （2024•师大附中•高二上期中）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝t，M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）若t＝1，求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值．

共享时间:2024-11-18 难度:2 相似度:1

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170815. （2020•西安中学•高二上期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AA₁＝2，AC＝BC＝1，且AC⊥BC，M是A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：CB₁∥平面AC₁M；
（Ⅱ）设AC与平面AC₁M的夹角为θ，求sinθ．

共享时间:2020-02-15 难度:2 相似度:1

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170664. （2021•长安区一中•高二上期末）如图，在等腰直角三角形PAD中，∠A＝90°，AD＝8，AB＝3，B，C分别是PA，PD上的点，且AD∥BC，M，N分别为BP，CD的中点，现将△BCP沿BC折起，得到四棱锥P﹣ABCD，连结MN．

（1）证明：MN∥平面PAD；
（2）在翻折的过程中，当PA＝4时，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:1

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170442. （2022•长安区一中•高二上期末）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面为正方形，DH⊥平面ABCD，EH＝DH＝

AD＝1．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）若平面BDG∩平面ADH＝m，求直线m与平面BCG所成角的正弦值．

共享时间:2022-02-23 难度:2 相似度:1

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170190. （2023•高新一中•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD＝60°，∠ADP＝120°，点E为PA的中点．
（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:1

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171393. （2023•西安中学•高二上期中）如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点．
（1）求证：A₁D∥平面B₁CE；
（2）求直线CD与平面B₁CE所成角的正弦值．

共享时间:2023-11-16 难度:2 相似度:1

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2024-12-24

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2024-2025学年陕西省西安市蓝田县城关中学大学区联考高二（上）段考数学试卷

更新:2024-12-24 06:55浏览量:74

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