如图抛物线与轴交于两点与轴交于求抛物线的解析式连接在直线下方的抛物线取一点过点作平行于轴的直线交于求线段的最大值

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195797. （2025•阎良区•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=x²+bx-3与x轴交于A（-1，0），B两点，与y轴交于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，在直线BC下方的抛物线取一点M，过点M作平行于y轴的直线交BC于N，求线段MN的最大值．

共享时间:2025-02-24 难度:2

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[考点]

二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，

[答案]

（1）y＝x²﹣2x﹣3；

（2）

．

[解析]

解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x²+bx﹣3得1﹣b﹣3＝0，
解得b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x²﹣2x﹣3；
（2）当y＝0时，x²﹣2x﹣3＝0，
解得x₁＝﹣1，x₂＝3，
∴B（3，0），
当x＝0时，y＝x²﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的系数为y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）分别代入得

，
解得

，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（t，t²﹣2t﹣3）（0＜t＜3），则N（t，t﹣3），
∴MN＝t﹣3﹣（t²﹣2t﹣3）＝﹣t²+3t，
∵MN＝﹣（t﹣

）²+

，
∴当t＝

时，MN有最大值，最大值为

．

[点评]

本题考查了"二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

179631. （2024•西工大附中•九上期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax²﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a＝1时，若△ABD的面积是△ABC的面积的

倍，求∠BAD．

共享时间:2024-11-22 难度:2 相似度:2

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71. （2019•陕西省•期末）如图，已知抛物线y＝ax²+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.5

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173814. （2024•高新一中•九上三月）已知二次函数的图象经过点A（0，2），B（1，0），C（﹣2，3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）确定二次函数的对称轴和顶点坐标．

共享时间:2024-01-25 难度:1 相似度:1.5

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62. （2017•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²﹣4x+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与直线BC交于点N（x₃，y₃），若x₁＜x₂＜x₃，结合函数的图象，求x₁+x₂+x₃的取值范围．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.5

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509. （2018•陕西省•副题））已知抛物线L：y＝mx²﹣8x+3m与x轴相交于A和B（﹣1，0）两点，并与y轴相交于点C．抛物线L′与L关于坐标原点对称，点A、B在L′上的对应点分别为A′、B′
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PA'A的面积等于△CB'B的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2018-07-03 难度:5 相似度:1.5

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.5

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74. （2020•上海•真题）如图，抛物线y＝ax²﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）

是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.4

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6344. （2017•师大附中•模拟）如图，直线AB与抛物线l：y=-x²+bx+c分别交于A（0，5），B（5，0）两点，这条抛物线的顶点为C，对称轴与直线AB交于点D．
（1）求抛物线l的函数表达式，并直接写出点C、D的坐标．
（2）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点记为C′，对称轴与x轴的交点记为E，如果以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形，那么应将抛物线l怎样平移？为什么？
$德优题库$

共享时间:2017-06-08 难度:4 相似度:1.29

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1000. （2018•陕西省•真题）已知抛物线L：y=x²+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

共享时间:2018-07-02 难度:4 相似度:1

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23085. （2021•高新一中•九上期中）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=x²-4x-1；
（2）y=-2x²-5x+7．

共享时间:2021-11-25 难度:3 相似度:1

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72. （2020•宿迁市•真题）二次函数y＝ax²+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1

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79. （2020•鄂尔多斯市•真题）如图1，抛物线y＝x²+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1

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21202. （2019•爱知中学•一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线L₁：y=x²+bx+c经过A（1，0），且与y轴交轴点D（0，3）．
（1）求抛物线L₁的函数表达式；
（2）连接AD，将抛物线L₁绕平面内一个点M旋转180°得到抛物线L₂，其中A的对应点为C，D的对应点为B，若四边形ABCD是面积为20的矩形，求抛物线L₂的函数表达式．
$德优题库$

共享时间:2019-05-20 难度:4 相似度:0.83

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68. （2019•永州市•真题）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:0.83

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64. （2018•乐山市•真题）已知关于x的一元二次方程mx²+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．
（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y＝mx²+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且|x₁﹣x₂|＝6，求m的值；
（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a²﹣n²+8n的值．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:0.83

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2025-02-24

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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