如图在四棱锥中证明平面在线段上是否存在一点使直线与平面所成角的正弦值等于

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170081. （2023•铁一中学•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，

，AD∥BC，AB＝AC，∠BAD＝150°，∠PDA＝30°．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于

？

共享时间:2023-07-06 难度:2

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[考点]

直线与平面垂直，直线与平面所成的角，

[答案]

（1）见解析；
（2）存在；当F为PD上靠近P点的三等分点时，直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于

．

[解析]

（1）证明：取线段BC中点E，连结AE，
因为

，
所以PA＝1，
因为AD∥BC，∠BAD＝150°，
所以∠B＝30°，
又因为AB＝AC，
所以AE⊥BC，
而

，
所以

，
因为

，
所以PC²＝PA²+AC²，
即PA⊥AC，
因为PA⊥AD，且AD，AC⊂平面ABCD，AD∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABCD；
（2）解：存在；
以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，

则

，

，
设F（x₁，y₁，z₁），因为点F在线段PD上，
设

，则

，
即

，
所以

，
设平面PBC的法向量为

，
则

，
所以

，
因为直线CF与平面PBC成角正弦值等于

，
所以

，
整理得，21λ²+8λ﹣5＝0，
解得

，（负值舍去），
所以当F为PD上靠近P点的三等分点时，直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于

．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，直线与平面所成的角，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

168711. （2021•西安中学•仿真）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝

，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:2

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169525. （2024•铁一中学•高三上期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A₁A＝A₁C＝AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:2

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166430. （2024•西光中学•高二上一月）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝

．
（1）证明：BD⊥PA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

共享时间:2024-10-12 难度:2 相似度:2

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167785. （2024•西安一中•三模）如图，在斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB⊥BC，M为AC的中点，MB₁⊥AB．
（1）证明：MC₁⊥AB．
（2）若

，求直线B₁C与平面MB₁C₁所成角的正弦值．

共享时间:2024-04-07 难度:2 相似度:2

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168456. （2021•西安中学•七模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-02 难度:2 相似度:2

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167237. （2023•周至六中•高二上一月）已知四棱锥P﹣ABCD（如图），四边形ABCD为正方形，面PAB⊥面ABCD，PA＝PB＝AB＝2，M为AD中点．
（1）求证：PC⊥BM；
（2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值．

共享时间:2023-10-26 难度:2 相似度:2

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166958. （2023•师大附中•高二上一月）如图，已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，O，M，N分别为线段BC，AA₁，BB₁的中点，P为线段AC₁上的动点，AA₁＝16，AC＝8．
（1）若

，试证：C₁N⊥CM；
（2）在（1）的条件下，当AB＝6时，试确定动点P的位置，使线段MP与平面BB₁C₁C所成角的正弦值最大．

共享时间:2023-10-18 难度:2 相似度:2

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166681. （2024•高新一中•高二上二月）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝AC＝2，AD＝DF＝FC＝1，N为DF的中点，二面角D﹣AC﹣B的大小为θ．
（1）证明：AC⊥BN；
（2）当θ为何值时，直线AD与平面BEFC所成角的正弦值为

？

共享时间:2024-12-27 难度:2 相似度:2

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171656. （2023•西电中学•高二上期中）已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝PA＝4，BC＝CD＝2，PB＝2

，PD＝2

．
（1）求证：AD⊥BP；
（2）求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．

共享时间:2023-11-20 难度:2 相似度:2

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168734. （2021•西安中学•仿真）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝

，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．

（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．

共享时间:2021-06-10 难度:2 相似度:2

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167830. （2024•长安区一中•一模）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F﹣DC﹣B的平面角为60°．设M，N分别为AE，BC的中点．
（Ⅰ）证明：FN⊥AD；
（Ⅱ）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．

共享时间:2024-03-04 难度:3 相似度:1.67

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171847. （2022•西安中学•高二上期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D、E分别是AC、AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，M是A₁D的中点，如图所示．
（1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
（2）求CM与平面A₁BE所成角的大小；
（3）在线段A₁B上是否存在点N（N不与端点A₁、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出A₁N与BN的比值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-11-28 难度:3 相似度:1.67

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167279. （2023•长安区一中•高三上五月）如图，△ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PBE；
（Ⅱ）设N为线段PF上动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．