如图四面体中是正三角形证明已知是直角三角形若为棱上与不重合的点且求四面体与四面体的体积比

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169394. （2024•西安中学•高三上期末）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

共享时间:2024-02-08 难度:2

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[考点]

棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，
∵△ABC是正三角形，AD＝CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．
解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，
∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，
设AD＝CD＝

，则OC＝OA＝1，EC＝EA，
∵AE⊥CE，AC＝2，∴EC²+EA²＝AC²，
∴EC＝EA＝

＝CD，
∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC＝EA＝CD＝

，
由余弦定理得：
cos∠CBD＝

＝

，
即

，解得BE＝1或BE＝2，
∵BE＜BD＝2，∴BE＝1，∴BE＝ED，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵BE＝ED，∴S_△DCE＝S_△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．
法二：设AD＝CD＝

，则AC＝AB＝BC＝BD＝2，AO＝CO＝DO＝1，
∴BO＝

＝

，∴BO²+DO²＝BD²，∴BO⊥DO，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，

，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c），

，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）＝λ（0，

，﹣1），解得E（0，

，1﹣λ），
∴

＝（1，

），

＝（﹣1，

），
∵AE⊥EC，∴

＝﹣1+3λ²+（1﹣λ）²＝0，
由λ∈[0，1]，解得

，∴DE＝BE，
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，
∵DE＝BD，∴S_△DCE＝S_△BCE，
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．

[点评]

本题考查了"棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2014-07-07 难度:3 相似度:2

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，求实数λ的值．

共享时间:2021-06-06 难度:2 相似度:2

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共享时间:2023-02-10 难度:2 相似度:2

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167807. （2024•西安一中•二模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且

，|PA|＝2．
（1）求三棱锥B﹣ACP的体积；
（2）求证：AB⊥PC．

共享时间:2024-03-29 难度:2 相似度:2

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168171. （2023•西工大附中•八模）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的所有棱长均为2，∠B₁BA＝

．
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共享时间:2023-06-15 难度:2 相似度:2

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171221. （2024•师大附中•高一下期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，

，∠ABC＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．

共享时间:2024-05-18 难度:2 相似度:2

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170552. （2021•西安中学•高一上期末）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．
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共享时间:2021-02-10 难度:2 相似度:2

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（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．