已知一等腰梯形如图所示沿将折起使得平面平面如图所示连接得三棱锥求证图中平面求图中的二面角的正弦值

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169123. （2020•西工大附中•三模）已知一等腰梯形ABCD，如图（1）所示，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC将△ACD折起，使得平面ABC⊥平面ACD，如图（2）所示，连接BD，得三棱锥D﹣ABC．
（1）求证：图（2）中BC⊥平面ACD；
（2）求图（2）中的二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2020-04-03 难度:2

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[考点]

直线与平面垂直，二面角的平面角及求法，

[答案]

（1）证明过程请看解答；
（2）

．

[解析]

解：（1）证明：在图（1）中，过点D作DE⊥AB于E，
∵等腰梯形ABCD，∴AE＝

＝

．
又∵AD＝1，∴∠DAE＝60°．
∵AD＝CD，AB∥CD，∴∠DAC＝∠ACD＝∠BAC＝

∠DAE＝30°，∴AC＝

，
∴AB²＝AC²+BC²，即BC⊥AC．
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥平面ACD．
（2）以C为原点，CA、CB分别为x、y轴，作Cz⊥面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（

，0，0），B（0，1，0），D（

，0，

），
∴

＝（

，1，0），

＝（

，﹣1，

），

＝（

，0，

）．

设平面ABD的法向量为

＝（x，y，z），则

，即

，
令x＝1，则y＝

，z＝

，∴

＝（1，

，

）．
同理可得，平面BCD的法向量

＝（1，0，

）．
∴cos＜

，

＞＝

＝

，
故二面角A﹣BD﹣C的正弦值为

＝

．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，二面角的平面角及求法，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

172092. （2023•铁一中学•高二下期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，

，

，E为AB的中点．
（1）证明：BD⊥平面APD；
（2）求平面APD和平面CEP的夹角的余弦值．

共享时间:2023-05-16 难度:2 相似度:2

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166835. （2024•西安八十五中•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，

．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的大小．

共享时间:2024-03-12 难度:2 相似度:2

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167940. （2023•师大附中•三模）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N﹣CM﹣B正弦值的大小．

共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:2

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167349. （2023•长安区一中•高三上二月）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

共享时间:2023-12-15 难度:2 相似度:2

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168250. （2021•西安中学•五模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2

，PA＝2．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求

的值；如果不存在，请说明理由．

共享时间:2021-05-01 难度:2 相似度:2

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168411. （2021•西安中学•十模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2

，AC＝2

，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC．
（1）求证：PD⊥平面ABC；
（2）若PA与平面ABC所成的角为

，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角．

共享时间:2021-07-03 难度:2 相似度:2

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167238. （2023•周至六中•高二上一月）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的侧面A₁ADD₁是正方形．
（1）证明：A₁D⊥平面ABD₁；
（2）若AD＝2，AB＝4，求二面角B₁﹣AD₁﹣C的余弦值．

共享时间:2023-10-26 难度:2 相似度:2

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168641. （2021•西安中学•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB＝∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D﹣AA₁﹣C的正弦值．

共享时间:2021-03-26 难度:2 相似度:2

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168779. （2021•西安中学•八模）如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB＝AA₁＝

．
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

共享时间:2021-06-19 难度:2 相似度:2

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168940. （2021•高陵一中•二模）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A₁AB＝∠A₁AC，D为BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面A₁AD．
（2）若△A₁AD是等边三角形，求二面角D﹣AA₁﹣C的正弦值．

共享时间:2021-03-30 难度:2 相似度:2

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169008. （2020•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：AB⊥PE；
（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:2

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169077. （2020•西工大附中•三模）如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．
（1）证明：DE⊥平面ABCD；
（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为

，求λ的值．

共享时间:2020-04-06 难度:2 相似度:2

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166799. （2024•西安工业大学附中•高二上一月）如图，在三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A₁A＝A₁B₁＝2，侧棱A₁A⊥平面ABC，点D是棱CC₁的中点．
（1）证明：BB₁⊥平面AB₁C；
（2）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值．