如图所示在三棱锥中为在底面内的投影且为的垂心若为在内的投影证明当三棱锥为正三棱锥且与平面所成角为时求点到平面的距离

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169876. （2023•长安区一中•高一下期末）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，E为P在底面ABC内的投影，且E为△ABC的垂心．
（1）若F为C在PAB内的投影，证明：PF⊥AB；
（2）当三棱锥P﹣ABC为正三棱锥且AB＝6，PC与平面ABC所成角为

时，求点C到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-01 难度:2

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[考点]

直线与平面垂直，点、线、面间的距离计算，

[答案]

（1）证明见解答；
（2）点C到平面PAB的距离为

．

[解析]

（1）证明：由题意知PE⊥平面ABC，

∵AB⊂平面ABC，∴PE⊥AB，又∵E为△ABC的垂心，
∴CE⊥AB，PE，CE⊂平面PCE，PE∩CE＝E，∴AB⊥平面PCE，
又∵PC⊂平面PCE，∴PC⊥AB，由F为C在PAB内的投影知CF⊥平面PAB，
∵AB⊂平面PAB，∴CF⊥AB，
又∵PC，CF⊂平面PCF，PC∩CF＝C，∴AB⊥平面PCF，又∵PF⊂平面PCF，∴PF⊥AB；
（2）解：由题意可知C到平面PAB的距离即为CF，PC与平面ABC所成角即为

，
在正三角形ABC中，AB＝6，∴

，

，
延长PF交AB于D，由（1）知PD⊥AB，且AB⊥平面PCE，∴PD⊂平面PCE，
故D亦为CE与AB的交点，且

，
在△PCD中，

，

，
∴CF＝

，
故点C到平面PAB的距离为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，点、线、面间的距离计算，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169739. （2023•师大附中•高二下期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2

，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在BC上且

＝2，求点M到平面PAB的距离．

共享时间:2023-07-03 难度:2 相似度:2

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171739. （2024•西安八十三中•高二下期中）如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为线段BC的中点，AB＝1，AD＝2，AA₁＝

．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面A₁AE；
（Ⅱ）求点A到平面A₁ED的距离．

共享时间:2024-05-17 难度:2 相似度:2

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168573. （2021•西安中学•九模）．如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影点为A₁B₁的中点O，且AC：BC：AB：AA₁＝1：1：

：2．
（1）求证：AB⊥平面OCC₁；
（2）若CO＝

，求点C到平面ABO的距离．

共享时间:2021-06-30 难度:2 相似度:2

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167216. （2023•周至四中•高二上一月）如图，在正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝AD＝2，AA₁＝5，E，F分别为DD₁，BB₁上的点，且DE＝B₁F＝1．
（1）求证：BE⊥平面ACF；
（2）求点B到平面ACF的距离．

共享时间:2023-10-15 难度:2 相似度:2

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170857. （2025•师大附中•高一下期中）如图，在正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中．AB＝1，AA₁＝2，M是DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面AMC；
（2）证明：AC⊥BD₁；
（3）求点D到平面MAC的距离．

共享时间:2025-05-01 难度:3 相似度:1.67

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168274. （2021•西安中学•五模）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，AC与BD相交于点M，点N在线段AP上，AN＝λAP（λ＞0），且MN∥平面PCD．
（1）求实数λ的值；
（2）若

，∠BAD＝60°，求点N到平面PCD的距离．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:1.5

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169719. （2023•师大附中•高一下期末）如图．在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠DAB＝60°，PA⊥PD，且PA＝PD＝

，AB＝2CD＝2．
（1）证明：AD⊥PB．
（2）求点A到平面PBC的距离．

共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.5

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168227. （2021•西安中学•四模）如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB₁，A₁D的中点．
（1）证明：MN∥平面C₁DE；
（2）求点C到平面C₁DE的距离．

共享时间:2021-04-28 难度:1 相似度:1.5

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167127. （2023•西安中学•高二上一月）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA₁＝1，M为线段A₁C₁上一点．
（1）求证：BM⊥AB₁；
（2）若直线AB₁与平面BCM所成角为

，求点A₁到平面BCM的距离．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:1.5

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167563. （2023•关山中学•高二上一月）已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：
（1）线段AB的中点坐标和线段AB长度；
（2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标x，y，z满足的条件．

共享时间:2023-10-16 难度:1 相似度:1.5

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170168. （2023•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？证明你的结论；
（2）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．

共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:1.5

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169394. （2024•西安中学•高三上期末）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

共享时间:2024-02-08 难度:2 相似度:1

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169945. （2023•长安区一中•高二上期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥DC，BC⊥AB，CD＝SD，平面SCD⊥平面SBC．
（1）求证：BC⊥平面SCD；
（2）设BC＝CD＝8，SB＝16，求三棱锥S﹣BCD的体积．

共享时间:2023-02-10 难度:2 相似度:1

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169372. （2024•师大附中•高二上期末）如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠DBC＝120°．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2024-02-14 难度:2 相似度:1

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169350. （2024•师大附中•高一下期末）在三棱锥P﹣ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB＝BC，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）若D为AC的中点，且PA＝2AB＝4，求点D到平面PBC的距离．

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:1

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更新:2023-07-01 03:12浏览量:5