如图在四棱锥中底面为正方形平面求证平面求直线平面夹角的正弦值求点到平面的距离

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166604. （2024•华清中学•高二上二月）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2．
（1）求证：AD∥平面PBC；
（2）求直线BD平面PCD夹角的正弦值；
（3）求点B到平面PCD的距离．

共享时间:2024-12-25 难度:3

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[考点]

直线与平面平行，空间向量法求解直线与平面所成的角，空间中点到平面的距离，

[答案]

（1）证明见解答；

（2）

；

（3）

．

[解析]

解：（1）证明：因为底面ABCD为正方形，所以AD∥BC，
因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD∥平面PBC；
（2）因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，

B（2，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
则

，

，
设平面PCD的法向量为

，
则

，
令y＝1，则z＝1，x＝0，则

，
故直线BD平面PCD夹角的正弦值为：

；
（3）由（2）知，平面PCD的法向量为

，
故点B到平面PCD的距离为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面平行，空间向量法求解直线与平面所成的角，空间中点到平面的距离，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166757. （2024•建大附中•一模）如图，在九面体ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AFG∥平面HCD，

，AB＝6，底面ABCDEF为正六边形．
（1）证明：GH∥平面ABCDEF．
（2）证明：GH⊥平面AFG．
（3）求GE与平面ABG所成角的正弦值．

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.34

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171890. （2023•长安区一中•高一下期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC₁，点D是AB的中点．求证：
（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）A₁B⊥B₁C．

共享时间:2023-05-15 难度:1 相似度:1.33

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166274. （2024•师大附中•高二上一月）如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，△ABC为边长为2的正三角形，AA₁＝3，D为AC中点，点E在棱CC₁上，且CE＝λCC₁，0＜λ＜1．
（1）当

时，求证A₁E⊥平面BDE；
（2）设O₁为底面A₁B₁C₁的中心，求直线CO₁与平面BDE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时λ的值．

共享时间:2024-10-30 难度:2 相似度:0.83

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170664. （2021•长安区一中•高二上期末）如图，在等腰直角三角形PAD中，∠A＝90°，AD＝8，AB＝3，B，C分别是PA，PD上的点，且AD∥BC，M，N分别为BP，CD的中点，现将△BCP沿BC折起，得到四棱锥P﹣ABCD，连结MN．

（1）证明：MN∥平面PAD；
（2）在翻折的过程中，当PA＝4时，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

共享时间:2021-02-18 难度:2 相似度:0.83

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169100. （2020•西工大附中•三模）如图，在四棱锥B﹣ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，△ABC是一个边长为4的正三角形，在直角梯形ACDE中，AE∥CD，AE⊥AC，AE＝2，CD＝3，点P在棱BD上，且BP＝2PD．
（1）求证：EP∥平面ABC；
（2）设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为

，求MP的长．

共享时间:2020-04-14 难度:2 相似度:0.83

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169145. （2020•西工大附中•二模）已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC＝120°，

，

，E、F分别是BC、A₁C₁的中点．
（1）证明：EF∥平面ABB₁．
（2）求直线B₁E与平面A₁BE所成角的正弦值．

共享时间:2020-03-17 难度:2 相似度:0.83

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169169. （2020•高新一中•三模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，BF，DE，CG都垂直于平面ABCD，且CG＝2BF＝2ED＝2．
（1）证明：AE∥平面BCF；
（2）若∠DAB＝

，求三棱锥D﹣AEF的体积．

共享时间:2020-04-01 难度:2 相似度:0.83

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169352. （2024•师大附中•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，

，点M，N分别为DP和AB的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求证：平面PBC⊥平面ABCD；
（3）求CM与平面PAD所成角的正弦值．

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:0.83

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169418. （2024•西安中学•高三上期末）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，CD∥AB，AB⊥BC，PA⊥PD，BC＝CD＝PA＝PD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面PBC．
（1）若PB的中点为N，求证：CN∥平面PAD；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的正弦值．

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:0.83

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169696. （2024•西安八十五中•高一下期末）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为AA₁的中点，F为AE的中点．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求三棱锥E﹣BDF的体积．

共享时间:2024-07-08 难度:2 相似度:0.83

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169811. （2023•西安中学•高一下期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为

的等腰三角形，E、F分别为AB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：BF∥平面PDE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣BDF的体积．

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:0.83

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170078. （2023•铁一中学•高一下期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为棱DC和D₁C₁的中点．
（1）求证：A₁F∥平面AD₁E；
（2）求三棱锥A₁﹣AED₁的体积．

共享时间:2023-07-06 难度:2 相似度:0.83

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170145. （2023•铁一中学•高二下期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，∠ACB＝90°，AC₁⊥A₁C，D为线段A₁C上的动点，AC₁⊥BD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；
（2）若AA₁⊥AC，D为线段A₁C的中点，AC＝2BC＝2，求B₁D与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:0.83

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170190. （2023•高新一中•高一下期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD＝60°，∠ADP＝120°，点E为PA的中点．
（1）求证：BE∥平面PCD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:0.83

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170442. （2022•长安区一中•高二上期末）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面为正方形，DH⊥平面ABCD，EH＝DH＝

AD＝1．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）若平面BDG∩平面ADH＝m，求直线m与平面BCG所成角的正弦值．

共享时间:2022-02-23 难度:2 相似度:0.83

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2024-12-25

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