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170145. (2023•铁一中学•高二下期末) 如图,已知三棱柱ABCA1B1C1,∠ACB=90°,AC1A1CD为线段A1C上的动点,AC1BD
(1)求证:平面ACC1A1⊥平面ABC
(2)若AA1ACD为线段A1C的中点,AC=2BC=2,求B1D与平面A1BC所成角的余弦值.

共享时间:2023-07-12 难度:2
[考点]
平面与平面垂直,空间向量法求解直线与平面所成的角,
[答案]
(1)证明见解析;
(2)
[解析]
解:(1)已知A1CAC1,又AC1BDA1CBD⊂平面A1BCA1CBDD
所以AC1⊥平面A1BC
BC⊂平面A1BC,所以AC1BC
因为∠ACB=90°,所以BCAC
ACAC1A,所以BC⊥平面ACC1A1
BC⊂平面ABC,所以平面ACC1A1⊥平面ABC
(2)由(1)知平面ACC1A1⊥平面ABC
又平面ACC1A1∩平面ABCACAA1AC
所以AA1⊥平面ABC.又A1AC1C
所以CC1⊥平面ABC,所以CACBCC1两两垂直,
C为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方向,
建立空间直角坐标系如图所示:

因为AA1AC,所以四边形ACC1A1为矩形,
又因为AC1A1C,所以四边形ACC1A1为正方形,
因为AC=2,BC=1,所以CC1=2,
所以C(0,0,0),B(0,1,0),A1(2,0,2),B1(0,1,2),D(1,0,1),
所以
设平面A1BC的一个法向量为
,即,取x=1,解得
所以
所以
设直线B1D与平面A1BC所成的角为α,则
所以
即直线B1D与平面A1BC所成角的余弦值为
[点评]
本题考查了"平面与平面垂直,空间向量法求解直线与平面所成的角,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
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166857. (2024•西安八十五中•高二上一月) 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,M为棱AC的中点,ABBCAC=2,AA1
(1)求证:B1C∥平面A1BM
(2)求证:AC1⊥平面A1BM
(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.5
19749. (2021•陕西省•乙卷) 如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCDMBC的中点,且PBAM
(1)证明:平面PAM⊥平面PBD
(2)若PDDC=1,求四棱锥PABCD的体积.
共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:1
168825. (2021•西工大附中•十二模) 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形B1BCC1是菱形,∠B1BC=60°,ABBCABBB1D为棱BC的中点.
(1)求证:平面AB1D⊥平面ABC
(2)若ABBC=2,求点C到平面AB1D的距离.

共享时间:2021-07-26 难度:2 相似度:1
168963. (2021•交大附中•四模) 如图所示的几何体中,正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ,四边形APBQ为平行四边形,GPC上一点,且BG⊥平面APCAB=2.
(1)求证:平面PAD⊥平面PBC
(2)当三棱锥PABC体积最大时,求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值.

共享时间:2021-04-20 难度:2 相似度:1
169056. (2020•西工大附中•一模) 如图,三棱锥ABCD中,AB⊥平面BCDBCCDABCDBC=2,EAC的中点,FAD的中点.
(1)证明:平面BEF⊥平面ABC
(2)求多面体BCDFE的体积.

共享时间:2020-03-01 难度:2 相似度:1
169214. (2025•师大附中•高二上期末) 已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长相等,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.
①证明:平面A1AC⊥平面A1BD
②求直线BC1与平面A1AC所成角的正弦值?

共享时间:2025-02-11 难度:2 相似度:1
169271. (2025•西工大附中•高二上期末) 如图,在四棱锥ABCDE中,ABAEBCCDCDDE,且平面ABE⊥平面BCDE,∠EBC=45°,OBE的中点.
(1)证明:AOCD
(2)求二面角CABE的正弦值.

共享时间:2025-02-18 难度:2 相似度:1
169550. (2024•铁一中学•高二上期末) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC.∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCDQAD的中点,M是棱PC上的点,PAPD=2,BCAD=1,CD
(1)求证:平面MQB⊥平面PAD
(2)若二面角MBQC的大小为30°,求直线QM与平面PAD所成角的正弦值.

共享时间:2024-02-22 难度:2 相似度:1
169699. (2024•西安八十五中•高一下期末) 如图1,平面四边形ABCD中,ABACABACACCDEBC的中点,将△ACD沿对角线AC折起,使CDBC,连接BD,得到如图2所示的三棱锥DABC
(1)证明:平面ADE⊥平面BCD
(2)已知直线DE与平面ABC所成的角为,求二面角ABDC的余弦值.

共享时间:2024-07-08 难度:2 相似度:1
169761. (2023•师大附中•高二下期末) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,ACPEPAPDE为棱AB的中点.
(1)证明:平面PAD⊥平面ABCD
(2)若PAAD,∠BAD=60°,求二面角EPDA的正弦值.

共享时间:2023-07-24 难度:2 相似度:1
169918. (2023•长安区一中•高二下期末) 图1是直角梯形ABCDABCD,∠D=90°,AB=4,DC=6,,以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达C1的位置,且,如图2.
(1)证明:平面BC1E⊥平面ADEB
(2)若,求二面角PBEA的大小.

共享时间:2023-07-19 难度:2 相似度:1
170368. (2022•长安区一中•高二下期末) 如图1,在矩形ABCD中,BC=2AB=2,EAD中点,将△CDE沿直线CE翻折到△CPE的位置,使得,如图2.
(1)求证:平面PCE⊥平面ABCE
(2)求C到平面PBE的距离.

共享时间:2022-07-05 难度:2 相似度:1
170188. (2023•高新一中•高一下期末) 在斜三棱柱ABCABC′中,△ABC是边长为2的正三角形,侧棱,顶点A′在平面ABC的射影为BC边的中点O
(1)求证:平面BCCB′⊥平面AOA′;
(2)求几何体A′﹣BCCB′的体积.

共享时间:2023-07-11 难度:2 相似度:1
168687. (2021•西安中学•仿真) 如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的菱形,EBEDEFAC
(1)求证:平面BDF⊥平面ACFE
(2)若EAEC,点E到平面ABCD的距离为,求平面ABE与平面BDF所成锐二面角的余弦值.

共享时间:2021-06-10 难度:2 相似度:1
170391. (2022•长安区一中•高二下期末) 如图1,在矩形ABCD中,BC=2AB=2,EAD中点,将△CDE沿直线CE翻折到△CPE的位置,使得PB,如图2.

(1)求证:面PCE⊥面ABCE
(2)求PC与面ABP所成角的正弦值.
共享时间:2022-07-21 难度:2 相似度:1

dygzsxyn

2023-07-12

高中数学 | 高二下 | 解答题

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2020*西工大*期末
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