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2023-2024学年陕西省西安三中高二（下）第一次月考数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共40分)

1. （本题5分）已知x∈{1，2，x²}，则x的取值为（　　）

A.1

B.1或2

C.0或2

D.0或1或2

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2. （本题5分）命题：“∀x∈R，x²-x+2≥0”的否定是（　　）

A.∃x∈R，x²-x+2≥0	B.∀x∈R，x²-x+2≥0
C.∃x∈R，x²-x+2＜0	D.∀x∈R，x²-x+2＜0

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3. （本题5分）已知p：（x-1）（x+1）≤0，q：-2≤x≤2，则p是q的（　　）条件．

A.必要不充分	B.充分不必要
C.充要	D.既不充分也不必要

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4. （本题5分）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点

，则＝（　　）

B.．

C.．

D.．

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5. （本题5分）欧拉公式eⁱ^θ＝cosθ+isinθ（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系．已知z＝ieⁱ^θ，则|z|＝（　　）

A.1

C.．2

D.．

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6. （本题5分）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（　　）

A.30个

B.42个

C.41个

D.39个

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7. （本题5分）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（　　）

A.150种

B.300种

C.720种

D.1008种

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8. （本题5分）

的展开式中含x项的系数为（　　）

A.9

B.10

C.18

D.20

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二、多选题(4小题共20分)

9. （本题5分）已知平面向量

，

，则下列命题正确的是（　　）

A.．若，则x＝﹣3	B.若，则
C.．若，则x＝0	D.．若，则x＝

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10. （本题5分）已知圆台上、下底面半径分别为1，2，且上下底面圆周均在半径为

的球O的球面上，则该圆台的体积可能为（　　）

C.7π

D.．14π

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11. （本题5分）某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示．已知这6人年龄的极差为14，则（　　）

A.a＝8

B.．6人年龄的平均数为35

C.．6人年龄的75%分位数为36

D.．6人年龄的方差为

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12. （本题5分）已知正整数m，n满足不等式n＞m＞1，则下列结论正确的是（　　）

A.	B.．
C.	D.．

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三、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）

＝　　．

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14. （本题5分）设m，n∈R⁺且m+n＝4，则

的最小值为　．

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15. （本题5分）假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝　．

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16. （本题5分）已知三位整数n满足（a+b）ⁿ的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则n的最大值是　．

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四、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）已知函数

．
（Ⅰ）求

的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）当

时，求f（x）的最大值与最小值．

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18. （本题12分）设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，若PA＝AB＝1，BC＝2．
（1）求PC与平面PAD所成角的正切值；
（2）在BC边上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为

，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；

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19. （本题12分）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有500名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间[50，100]内，组委会将初赛成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计这500名学生初赛成绩的平均数

及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位数精确到0.01）
（2）组委会在成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法随机抽取5人，然后再从抽取的5人中任选取2人进行调查，求选取的2人中恰有1人成绩在[60，70）内的概率．

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20. （本题12分）某商场在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“禄”“寿”“喜”卡各两张，“财”卡三张．每位顾客从卡箱中随机抽取5张卡片，其中抽到“财”卡获得3分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“禄”“寿”“喜”“财”卡片各一张，则额外获得4分．
（1）求顾客甲最终获得7分的不同的抽法种数；
（2）求顾客乙最终获得11分的不同的抽法种数．

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21. （本题12分）已知m，n，k∈N₊，m≥k≥n．
（1）证明：

；
（2）证明：

．

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22. （本题12分）基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a₁，a₂，…，a_n，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即

≥

，当且仅当a₁＝a₂＝…＝a_n时，等号成立．若无穷正项数列{a_n}同时满足下列两个性质：①∃M＞0，a_n＜M；②{a_n}为单调数列，则称数列{a_n}具有性质P．
（1）若

，求数列{a_n}的最小项；
（2）若

，记

，判断数列{S_n}是否具有性质P，并说明理由；
（3）若

，求证：数列{c_n}具有性质P．

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dygzsxyn

2024-04-19

高中数学 | 段考 | 难度:1.41

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