如图在内有一点且若则如图在中作线段将线段绕点逆时针旋转得到线段连接求证在的条件下设所在直线交于点如图求面积的最小值

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226. （2020•南靖县星光中学并入船中•模拟）（1）如图1，在△ABC内有一点D，且AD＝BD＝CD，若∠BAC＝40°，则∠DBC＝　．
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝5

，作线段CD＝3，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE、AD、BE．求证：△ACD≌△BCE；
（3）在（2）的条件下，设AD、BE所在直线交于点Q（如图3），求△ABQ面积的最小值．

共享时间:2021-01-06 难度:5

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[考点]

菱形的性质，矩形的性质，四边形综合题，轴对称的性质，平移的性质，几何变换综合题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）∵AD＝BD＝CD，
∴∠ABD＝∠BAD，∠ACD＝∠CAD，
∴∠ABD+∠ACD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝40°，
∴∠CBD+∠BCD＝∠ABD+∠ACD＝∠BAD+∠CAD＝180°﹣（∠ABD+∠ACD+∠BAD+∠CAD）＝100°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝50°，
故答案为：50；
（2）∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE′＝∠ACB＝90°，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠CBE+∠ABC+∠BAQ＝∠CAD+∠ABC+∠BAQ＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴

，
∵AQ•BQ＝

＝

﹣25，
∴

﹣12.5，
∴当AQ+BQ取最小值时，S_△_ABQ的值最小，
若CD⊥AD时，如图1，

此时，∠CDQ＝∠DQB＝∠DCE＝90°，
∴四边形CDQE为矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形CDQE为正方形，
∴DQ＝EQ，
∵∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝5

，
∴BC＝AC＝

AB＝5，
∵CD＝CE＝3，
∴AD＝BE＝

，
∴AQ+BQ＝AD+DQ+AQ＝AD+BE＝8，
若AD与CD不垂直时，如图2，

过C作CF⊥AQ于点F，作CG⊥BQ于G，
∵∠AQG＝90°，
∴四边形CFQG是矩形，
∴∠FCG＝90°＝∠DCE，
∴∠DCF＝∠ECG，
∵CD＝CE，∠CFD＝∠CGE＝90°，
∴△CDF≌△CEG（AAS），
∴CF＝CG，
∴四边形CFQG为正方形，
∴QF＝QG，
∴AQ+BQ＝AF+FQ+AQ＝AF+QG+BQ＝AF+BG，
∵AF＝BG＝

，
∵CG＜CE，CE＝3，
∴AF＝BG＞4，
∴AQ+BQ＞8，
由上可知，当CD⊥AD时，AQ+BQ的最小值为8．
∵S_△_ABQ＝

﹣12.5，
∴当AQ+BQ＝8时，S_△_ABQ的值最小为3.5，
即△ABQ面积的最小值为3.5．

[点评]

本题考查了"菱形的性质矩形的性质四边形综合题轴对称的性质平移的性质几何变换综合题 "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

199189. （2022•交大附中•八下期中）（1）如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S_△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为　　．
（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝

，PC＝4．求∠APB的度数．
（3）如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S_△PAD＝2S_△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-05-14 难度:1 相似度:1.17

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185599. （2024•西工大附中•八下期中）问题探究：
（1）在△ABC中，AB=AC，∠A=α，点D在AC边上，点E是射线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转，旋转角为α，得到线段DF，连接EF，DG∥AB交BC于点G．
①如图1，当α=60°时，点D为线段AC的中点，则线段CF与GE的数量关系是．
②如图2，当α=90°时，点D为线段AC的中点，AB=4，当AF的长度最小时，CF的长度为．
综合运用：
（2）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，若D是AC边上一点，AB=8，且AD：DC=1：3，E是BC边上的动点，若点E绕点D顺时针旋转30°的对应点是F，连接BF，EF，求BF长度的最小值．
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共享时间:2024-05-17 难度:1 相似度:1.17

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181568. （2024•曲江一中•八下二月）【问题提出】
（1）如图1，点D是△ABC边BC的中点，则S_△ABD S_△BCD（填“＞、＜、=”，下同）．
如图2，直线m∥n,A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点，则S_△ABC= S_△ABF；
【问题探究】
（2）如图3，点D是△ABC边AC上一定点，使用三角板在BC上作出点E，使得线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图4，四边形ABCD是铁一曲江悦耕园的一块不规则空地，为了丰富悦耕园的农作物，“一米菜园”选修课的同学们决定在这块地里种植两种农作物，打算过点C修一条笔直的通道，以便同学们打理农作物，要求通道两侧种植农作物的面积相等．经测量AB=6米，AD=30米，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长．
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共享时间:2024-06-21 难度:1 相似度:1.17

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185034. （2024•雁塔二中•八下一月）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A=90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
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（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC=13，DE=7，求CE的长．
（3）当旋转角α= 时，△ABD的面积最大．

共享时间:2024-04-27 难度:1 相似度:1.17

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185129. （2025•铁一中学•八下期中）（1）阅读材料：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，∠ABC=30°，△ACE是等边三角形，M为△ABC内任意一点，连接CM，将CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接EN、AM、BM．
①△CMN的形状是；
②AM+BM+CM是否存在最小值，若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地ABCD建设口袋公园，四个顶点A、B、C、D为公园入口，公园内有两个凉亭E、F，为方便市民散步，需修建健身步道连接AE、BE、EF、DF、CF．为节约建设成本，应将E、F修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？
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共享时间:2025-05-10 难度:1 相似度:1.17

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185226. （2025•西工大附中•八下期中）问题发现
（1）如图①，已知边长为4的等边△ABC，AE是△ABC的中线，点D为AC的中点，点P为AE上一动点，则PC+PD的最小值为　；
问题探究
（2）如图②，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝135°，连接AC，且CD＝20，AC＝26，求BC的长；
问题解决
（3）某公园规划一个四边形花园ABCD，如图③，其面积为

平方米，设计一条观赏路BD将花园分成两部分，分别种植不同的花卉，根据设计要求，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，由于地形需要，计划在其四周围上护栏，公园已有长度为（80

﹣60）米的护栏恰好全部用于AB和BC处，AD与CD两处需购买新的护栏，若护栏20元/米，为了节约成本，求公园购买护栏的最少费用．（观赏路的宽度和护栏的厚度忽略不计）

共享时间:2025-05-18 难度:1 相似度:1.17

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185349. （2024•师大附中•八下期中）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF．
观察猜想：
（1）如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的位置关系为　　；
探究发现：
（2）如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）若△ABC中，

，在△DEF旋转过程中，当

且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长．

共享时间:2024-05-23 难度:1 相似度:1.17

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185374. （2024•高新一中•七下期中）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，作BD⊥l于D，CE⊥l于E．
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（1）当直线l在∠BAC外部时（图（a）），求证：BD+CE=DE；
（2）当直线l在∠BAC内部时（图（b）），猜想线段BD，CE与DE之间又有怎样的关系．证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，连接BE，若BD=6，CE=4，求四边形ABEC的面积．

共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:1.17

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185396. （2024•高新一中•八下期中） $德优题库$ 线段AB与CD的位置关系如图1所示，AB=CD=m,AB与CD的交点为O，且∠AOC=60°，分别将AB和AC平移到CE，BE的位置（如图2）．
（1）求CE的长和∠DCE的度数；
（2）在图2中求证：AC+BD＞m.

共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.17

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185399. （2024•高新一中•八下期中）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（BC除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若S_{四边形ABCD}=32，求BD的长．
（3）如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=100米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC，CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，∠DAF=15°，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路EF的长．
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共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.17

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185423. （2023•爱知中学•八上期中）在Rt△DEF中，DE＝DF，∠EDF＝90°，点E，D分别在长方形ABCO的边BC，CO上．

（1）如图1，当点F在OA上，且CE＝3，OF＝1时，则EF＝　；
（2）如图2，若EC＝CO，点D为线段CO上一动点（不包括端点），连接OF，求∠AOF的度数；
（3）如图3，若矩形ABCO中，OA＝5，OC＝4，在（2）的基础上，当BF取值最小时，求点D的坐标．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.17

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185576. （2024•西工大附中•七下期中）发现问题
（1）已知，如图①，在四边形ABCD中，E在BC上，AE=DE，∠ABE=∠AED=∠ECD，若AB=5，BC=12，则BE= ．
探究问题
（2）如图②，已知长方形ABCD的周长为36，CD=10，点E为AD边上一点，EG⊥EF分别交AB于点G，交CD于点F，且EG=EF，求四边形BCFG的面积．
解决问题
（3）如图③，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AB=13，以AB为边在其左上方作正方形ABEF，FD垂直于CA延长线于点D，连接AE，M、N分别为AE、BC上两动点，连接FM，BM，MN，当BM+MN的值最小时，求多边形EFMNB的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴）
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共享时间:2024-05-23 难度:1 相似度:1.17

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189715. （2025•师大附中•九上期末）问题探究
（1）点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线l，使它将平行四边形ABCD的面积等分．
问题解决
（2）如图2，某公园有一空地，即五边形ABCDE．经测量，AE∥CD，AE＝40m，CD＝70m，AB＝BC＝50m，∠BAE＝∠BCD，tanD＝

，空地内部准备修建一条笔直的小路MN和一座凉亭P，点M在边AE上，点N在边CD上，小路MN经过凉亭P且恰好平分空地ABCDE的面积，满足∠BPN＝45°，点E为公园的入口处，请问凉亭P到公园入口E的距离是否存在最小值，若存在，求出PE的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-15 难度:1 相似度:1.17

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185696. （2024•交大附中•八下期中）问题提出
（1）平面中的任意两点都可以通过一次旋转变换互相得到．如图1，在平面直角坐标系中，点A绕x轴上点P旋转得到点B．请找出点P的位置；
问题发现
（2）平面中的任意两条等线段都可以通过一次旋转变换互相得到．如图2，线段OA可以绕平面内一点P作一次旋转直接到线段BC．已知点A（2，1），点B（0，4），点C（-1，6），求出P点的坐标；
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，∠B+∠C=120°，BC=2AD=4，求ABCD的面积． $德优题库$

共享时间:2024-05-15 难度:1 相似度:1.17

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181494. （2024•铁一中学•八下一月）综合与实践
（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=60°，连接AC．若点E、F分别在边BC，CD上，且BE=CF．
①求证：△AEF是等边三角形；
②若AC=6，求四边形AECF的面积；
（2）某小区有一块四边形空地，如图②，经测量：AB=AD=8m,AC=10m,∠BCD=120°，∠BAD=60°，物业决定在此规划花园，以△ABD和△BCD为大致轮廓种植月季和薰衣草，如图③，为了观赏方便，物业决定过点E规划三条路线，分别为EC、EF、EG（宽度忽略不计），其中CE⊥BD，EF⊥AB，EG⊥AD，求三条路线的距离之和．
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共享时间:2024-04-20 难度:1 相似度:1.17

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艺黎

2021-01-06

初中数学 | | 解答题

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