如图在中若的半径为点在上点在上连接求线段的最小值如图所示五边形是某市工业新区的外环路新区管委会在点处点处是该市的一个交通枢纽已知根据新区的自然环境及实际需求现要在矩形区域内含边界修一个半径为的圆型环道过圆心作垂足为与交于点连接点在

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25685. （2023•陕西省•真题）（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
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共享时间:2023-07-20 难度:3

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[考点]

等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的判定与性质，圆的综合题，

[答案]

（1）4-4；
（2）4047.91m．

[解析]

解：（1）如图①，连接OP，OM，过点O作OM'⊥AB，垂足为M'，
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则 OP+PM≥OM．
∵⊙O半径为4，
∴PM≥OM-4≥OM'-4，
∵OA=OB．∠AOB=120°，
∴∠A=30°，
∴OM'=AM'•tan30°=12tan30°=4

，
∴PM≥OM'-4=4

-4，
∴线段PM的最小值为4

-4；
（2）如图②，分别在BC，AE上作BB'=AA'=r=30（m），
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连接A'B'，B'O、OP、OE、B′E．
∵OM⊥AB，BB'⊥AB，ON=BB'，
∴四边形BB'ON是平行四边形．
∴BN=B′O．
∵B'O+OP+PE≥B'O+OE≥B'E，
∴BN+PE≥B'E-r,
∴当点O在B'E上时，BN+PE取得最小值．
作⊙O'，使圆心O'在B'E上，半径r=30（m），
作O'M'⊥AB，垂足为M'，并与A'B'交于点H．
∴O'H∥A'E，
∴△B'O'H∽△B'EA'，
∴

＝

，
∵⊙O'在矩形AFDE区域内（含边界），
∴当⊙O'与FD相切时，B′H最短，即B′H=10000-6000+30=4030（m）．
此时，O′H也最短．
∵M'N'=O'H，
∴M'N'也最短．
∴O'H=

＝

=4017.91（m），
∴O'M'=O'H+30=4047.91（m），
∴此时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长为4047.91m.

[点评]

本题考查了"等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,切线的判定与性质,圆的综合题"，属于"难典题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

2770. （2020•益新中学•模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AF＝2，AE＝EF＝

，求OA的长．
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共享时间:2020-06-26 难度:3 相似度:1.35

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211564. （2025•西安湖滨中学•一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC＝BD，延长BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若BO＝4，

，求ED的长．

共享时间:2025-03-02 难度:4 相似度:1.35

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196948. （2024•交大附中•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，在线段AB的上方画出一点C，使得∠ACB＝60°．
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，

，AD＝6．点P是圆心角为120°的圆弧AD上的一点，点E在BC边上，且BE＝1．连接EP，求EP的最大值．
【问题解决】
（3）如图3，四边形ABCD是一个仓库的平面图，设计者想在DC边上的点E处安装一个监测仪，以监测门口AB处人员进出情况，此时∠AEB＝45°．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，CE＝2DE＝24米．求此时监测仪E到大门AB的水平距离．

共享时间:2024-02-20 难度:1 相似度:1.2

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195801. （2025•阎良区•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，在扇形MAB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为

上一动点，连接AB，MP，AB与MP相交于点Q，若

，BM＝9，求PQ的最大值；【问题解决】
（2）如图2，某公园有一圆形水池⊙O，AB，AD是水池上的两座长度相等的小桥，且∠BAD＝60°，现规划人员计划再修建两座小桥BC和CD，桥的入口C在水池边上（即点C在⊙O上），为使游客观赏效果最佳，要求四座桥围成的四边形ABCD面积最大，已知AB＝AD＝60m，修建小桥的成本为100元/m，当四边形ABCD的面积最大时，求修建BC和CD两座小桥的总成本．

共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:1.2

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173030. （2024•高新一中•九上二月）如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝

，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．

共享时间:2024-12-16 难度:1 相似度:1.2

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195956. （2025•临潼区•九上期末）问题提出
（1）如图1，在等边三角形ABC中，已知AB=6，则BC边上的高为；
问题探究
（2）如图2，在△OAB中，已知OA=OB=5，AB=6，⊙O半径为1，P为⊙O上一动点，Q为线段AB上一动点．求PQ的最小值；
问题解决
（3）如图3，某游乐园中有一块菱形场地ABCD，现要在菱形空地内确定一点F，在点F处立一跟电杆，以便工作人员拉设四根装饰用的彩色灯带AF，BF，EF和PF，已知E是AB边的中点，CD边有一条用来供电的电线，电线长度足够，可视为一条直线，P为直线CD上任意一点．随着点F和点P位置的移动，AF，BF，EF和PF四条彩色灯带的长度也随之变化．为了更好保证最佳的观赏效果，要求∠AFB=90°且PF⊥EF．已知菱形场地ABCD中，∠ABC=60°，AB=8米，请问灯带PF的长度是否存在最小值？若存在，求出PF的最小值；若不存在，说明理由．
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共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.2

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196027. （2025•鄠邑区•九上期末） $德优题库$ 已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证：AC²=AD•AB．

共享时间:2025-02-28 难度:1 相似度:1.2

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172862. （2024•逸翠园中学•九上四月）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝30°，求BC的长．

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27756. （2023•航天中学•九上二月）【直接运用】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是；【构造运用】（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D′处，连接BD′，点M为BD′中点，求MN的最小值；
【灵活运用】（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．
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