问题提出如图在中过点作直线再分别过点作于于则线段之间的数量关系为如图在中点在上点分别是边上且设求四边形的面积与之间的函数关系式如图是一个圆形广场其中四边形规划为园林绿化区四个顶点均在圆上且要求

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20186. （2021•西工大附中•五模）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．过点C作直线l，再分别过点A、B作AM⊥l于M，BN⊥l于N．则线段MN、AM、BN之间的数量关系为___________；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，点P在AB上，点E、F分别是边AC、BC上，且∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．设BP＝x，求四边形CEPF的面积y与x之间的函数关系式；
（3）如图③是一个圆形广场，其中四边形ACBD规划为园林绿化区（四个顶点均在圆上），且要求∠ACB＝90°，AC＝30米，BC＝40米，连接AB、CD交于点P．为了更好的美化环境，需要在AC、BC边上分别确定点E、F，且满足∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．为了整体布局，计划在四边形CEPF内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪．已知花卉每平方米的价格是60元，草坪每平方米的价格是90元，从实用角度希望四边形CEPF的面积最大．根据设计要求，求出当四边形CEPF的面积最大时种植花卉和草坪的总费用．

共享时间:2021-06-03 难度:5

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[考点]

配方法的应用，二次函数的图像，二次函数的性质，二次函数与面积最值问题，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，四边形的面积最大值问题，圆的综合题，

[答案]

答案详见解答

[解析]

证明：（1）如图①，

∵AM⊥l于M，BN⊥l于N，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°，
∴∠MAC+∠ACM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∴∠MAC＝∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中，

，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM＝CN，CM＝BN，
∴MN＝MC+CN＝AM+BN；
（2）∵∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，
∴∠A+∠B＝90°，AB＝

＝

＝50，
∵PE⊥PF，
∴∠FPE＝90°，
∴∠FPB+∠EPA＝90°，
∵∠B＝∠FPB，
∴∠EPA＝∠A，
过点F作FM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，

∴BM＝

BP＝

x，PN＝

AP＝

（50﹣x），
∵∠FBM＝∠ABC，∠BMF＝∠BCA＝90°，
∴△BMF∽△BCA，
∴

＝

，即

＝

，
∴FM＝

x，
同理，

＝

，即

＝

，
∴EN＝

，
∴S_{四边形FPEC}＝S_△ABC﹣S_△FBP﹣S_△EPA＝

×40×30﹣

•x•

x﹣

•（50﹣x）•

，
∴y＝﹣

﹣

；
（3）由（2）知：y＝﹣

﹣

，
∴当x＝

＝32时，y有最大值，
即：S_{四边形FPEC最大值}＝﹣

×32²+

×32﹣

＝300，
此时，CP⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是直径，
∴CP＝DP，即点C、D关于直线AB对称，
∴S_{四边形ACBD}＝2S_△ABC＝1200，
∴总费用＝60×300+（1200﹣300）×90＝99000（元）．

[点评]

本题考查了"配方法的应用,二次函数的图像,二次函数的性质,二次函数与面积最值问题,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,四边形的面积最大值问题,圆的综合题",属于"压轴题"，熟悉题型和考点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

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（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.13

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.13

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.13

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.13

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.13

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3119. （2018•滨河中学•真题）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+

x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣

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（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:1.07

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1144. （2020•陕西省•副题）已知抛物线L：y=-x²+bx+c过点（-3，3）和（1，-5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
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