已知函数为常数的图象与轴交于点曲线在点处的切线斜率为求的值并求该切线方程当时证明

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232551. （2024•经开一中•高二下一月）已知函数f（x）＝e^x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y＝f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值并求该切线方程；
（2）当x＞0时，证明：x²＜e^x．

共享时间:2024-04-16 难度:2

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[考点]

利用导数求解函数的最值，利用导数求解曲线在某点上的切线方程，

[答案]

（1）a＝2，切线方程为y＝﹣x+1；

（2）证明见解析．

[解析]

解：（1）由f（x）＝e^x﹣ax得f′（x）＝e^x﹣a．
又因为f′（0）＝1﹣a＝﹣1，解得a＝2，
所以f（x）＝e^x﹣2x，f′（x）＝e^x﹣2，则f（0）＝1，
可知该切线方程为y＝﹣x+1．
（2）证明：令g（x）＝e^x﹣x²，x＞0，则g′（x）＝e^x﹣2x＝f（x），
由（1）可知：f′（x）＝e^x﹣2，
当0＜x＜ln2时，f′（x）＜0；当x＞ln2时，f′（x）＞0；
可知f（x）在（0，ln2）上单调递减，f（x）在（ln2，+∞）上单调递增，
则f（x）≥f（ln2）＝e^ln²﹣2ln2＝2﹣ln4＞0，
即g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
故g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）＞g（0）＝1＞0，
所以当x＞0时，有x²＜e^x．

[点评]

本题考查了"利用导数求解函数的最值，利用导数求解曲线在某点上的切线方程，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

170877. （2025•师大附中•高二下期中）已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知函数

，求g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意

，都有f（x）≤ax﹣e（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．

共享时间:2025-04-26 难度:3 相似度:1.67

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230685. （2025•西安三中•四模）已知函数f（x）＝e^x^﹣lna﹣sinx，x∈（0，+∞）．
（1）当a＝e时，求y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的范围；
（3）若f（x）在（0，π）内有两个不同零点x₁，x₂，求证：

．

共享时间:2025-04-30 难度:3 相似度:1.67

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168276. （2021•西安中学•五模）已知函数

．
（1）当k＝﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求k的取值范围．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:1.5

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169270. （2025•西工大附中•高二上期末）已知函数f（x）＝x³﹣（a+1）x²+a（a+1）x（a∈R）的图象在原点处的切线的斜率为2．
（1）求a的值；
（2）若a＞0，求曲线y＝f（x）的过点A（1，1）的切线方程．

共享时间:2025-02-18 难度:1 相似度:1.5

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232289. （2023•铁一中学•高三上四月）已知函数f（x）＝xe^x，g（x）＝xlnx．
（1）证明：f（x）≥x+lnx+1；
（2）若存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，x₄，证明：x₁x₃＝x₂x₄．

共享时间:2023-02-28 难度:1 相似度:1.5

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231705. （2015•西安八十三中•二模）已知函数f（x）＝e^x﹣ax﹣1，其中a为实数，
（1）若a＝1，求函数f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）＝0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围；
（3）设a_k，b_k（k＝1，2…，n）均为正数，且a₁b₁+a₂b₂…a_nb_n≤b₁+b₂…b_n，求证：

＜1．

共享时间:2015-03-15 难度:1 相似度:1.5

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231445. （2016•西工大附中•六模）已知函数f（x）＝

﹣lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k＝2，判断方程f（x）﹣1＝0在区间（0，1）内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的M＞0，总存在正数x₀，使得当x＞x₀时，恒有

﹣lnx＞M．

共享时间:2016-05-25 难度:1 相似度:1.5

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231421. （2016•西工大附中•六模）已知函数f（x）＝

﹣lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k＝2，判断方程f（x）﹣1＝0在区间（

，1）内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的M＞0，总存在正数x₀，使得当x＞x₀时，恒有

﹣M＞lnx．

共享时间:2016-05-26 难度:1 相似度:1.5

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230610. （2025•临潼区•二模）已知函数

．
（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a变化时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率能否为1？若能，求a的值，若不能，说明理由．

共享时间:2025-03-24 难度:2 相似度:1

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166368. （2024•长安区一中•高三上四月）已知函数f（x）＝a^x，g（x）＝log_ax，其中a＞1．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna的单调区间；
（2）若曲线y＝f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线与曲线y＝g（x）在点（x₂，g（x₂））处的切线平行，证明x₁+g（x₂）＝﹣

．

共享时间:2024-02-12 难度:2 相似度:1

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166664. （2024•高新一中•三模）阅读以下材料：
①设f′（x）为函数f（x）的导函数．若f′（x）在区间D单调递增；则称f（x）为区D上的凹函数；若f′（x）在区间D上单调递减，则称f（x）为区间D上的凸函数．
②平面直角坐标系中的点P称为函数f（x）的“k切点”，当且仅当过点P恰好能作曲线y＝f（x）的k条切线，其中k∈N．
（1）已知函数f（x）＝ax⁴+x³﹣3（2a+1）x²﹣x+3．
（i）当a≤0时，讨论f₁（x）的凹凸性；
（ii）当a＝0时，点P在y轴右侧且为f（x）的“3切点”，求点P的集合；
（2）已知函数g（x）＝xe^x，点Q在y轴左侧且为g（x）的“3切点”，写出点Q的集合（不需要写出求解过程）．

共享时间:2024-04-04 难度:2 相似度:1

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231771. （2025•师大附中•高二下二月）已知

是函数f（x）＝（a+1）lnx+ax²+1的极值点，a∈R．
（1）求a；
（2）判断函数y＝f（x）的零点个数，并证明．

共享时间:2025-06-30 难度:2 相似度:1

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231829. （2025•西工大附中•高二下一月）已知函数f（x）＝x³+ax²，a∈R，且f′（﹣1）＝5．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

共享时间:2025-04-10 难度:2 相似度:1

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231851. （2025•铁一中学•高二下一月）已知函数

在（﹣1，+∞）单调递增．
（1）求a的值；
（2）解不等式2f′（x）﹣x²＜0（f′（x）为函数的f（x）导函数）；
（3）证明：

．

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:1

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231869. （2025•曲江二中•高二下一月）已知函数

．
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线5x﹣2y+1＝0垂直，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求实数k的取值范围．

共享时间:2025-04-15 难度:2 相似度:1

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2024-04-16

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2023-2024学年陕西省西安市经开一中高二（下）第一次月考数学试卷

更新:2024-04-16 08:12浏览量:10

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