已知是函数的极值点求判断函数的零点个数并证明

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231771. （2025•师大附中•高二下二月）已知

是函数f（x）＝（a+1）lnx+ax²+1的极值点，a∈R．
（1）求a；
（2）判断函数y＝f（x）的零点个数，并证明．

共享时间:2025-06-30 难度:2

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[考点]

利用导数求解函数的极值，利用导数求解函数的最值，

[答案]

（1）

；

（2）2，证明见解析．

[解析]

解：（1）由f（x）＝（a+1）lnx+ax²+1，即x＞0，则

，
由

为函数f（x）的极值点，则

，即2a+1＝0，解得

．
（2）函数f（x）存在两个零点．
证明如下：
由（1）可得

，则

，
当

时，f′（x）＞0，则函数f（x）在

上单调递增，
当

时，f′（x）＜0，则函数f（x）在

上单调递减，
则

，
由

，

，
则函数f（x）在

与

上分别存在一个零点，
所以函数f（x）存在两个零点．

[点评]

本题考查了"利用导数求解函数的极值，利用导数求解函数的最值，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

230476. （2025•西安中学•二模）已知函数f（x）＝xlnx﹣x．
（1）若f（x）≥mx﹣e²对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若x₀是函数h（x）＝f（x）+x²的极值点，求证：f（x₀）+3x₀＞0．

共享时间:2025-03-19 难度:3 相似度:1.67

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231421. （2016•西工大附中•六模）已知函数f（x）＝

﹣lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k＝2，判断方程f（x）﹣1＝0在区间（

，1）内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的M＞0，总存在正数x₀，使得当x＞x₀时，恒有

﹣M＞lnx．

共享时间:2016-05-26 难度:1 相似度:1.5

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231705. （2015•西安八十三中•二模）已知函数f（x）＝e^x﹣ax﹣1，其中a为实数，
（1）若a＝1，求函数f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）＝0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围；
（3）设a_k，b_k（k＝1，2…，n）均为正数，且a₁b₁+a₂b₂…a_nb_n≤b₁+b₂…b_n，求证：

＜1．

共享时间:2015-03-15 难度:1 相似度:1.5

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168276. （2021•西安中学•五模）已知函数

．
（1）当k＝﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求k的取值范围．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:1.5

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232289. （2023•铁一中学•高三上四月）已知函数f（x）＝xe^x，g（x）＝xlnx．
（1）证明：f（x）≥x+lnx+1；
（2）若存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，x₄，证明：x₁x₃＝x₂x₄．

共享时间:2023-02-28 难度:1 相似度:1.5

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231445. （2016•西工大附中•六模）已知函数f（x）＝

﹣lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k＝2，判断方程f（x）﹣1＝0在区间（0，1）内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的M＞0，总存在正数x₀，使得当x＞x₀时，恒有

﹣lnx＞M．

共享时间:2016-05-25 难度:1 相似度:1.5

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232551. （2024•经开一中•高二下一月）已知函数f（x）＝e^x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y＝f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值并求该切线方程；
（2）当x＞0时，证明：x²＜e^x．

共享时间:2024-04-16 难度:2 相似度:1

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231851. （2025•铁一中学•高二下一月）已知函数

在（﹣1，+∞）单调递增．
（1）求a的值；
（2）解不等式2f′（x）﹣x²＜0（f′（x）为函数的f（x）导函数）；
（3）证明：

．

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:1

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231829. （2025•西工大附中•高二下一月）已知函数f（x）＝x³+ax²，a∈R，且f′（﹣1）＝5．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

共享时间:2025-04-10 难度:2 相似度:1

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232637. （2023•鄠邑二中•高三上三月）已知函数f（x）＝（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-01-29 难度:2 相似度:1

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166664. （2024•高新一中•三模）阅读以下材料：
①设f′（x）为函数f（x）的导函数．若f′（x）在区间D单调递增；则称f（x）为区D上的凹函数；若f′（x）在区间D上单调递减，则称f（x）为区间D上的凸函数．
②平面直角坐标系中的点P称为函数f（x）的“k切点”，当且仅当过点P恰好能作曲线y＝f（x）的k条切线，其中k∈N．
（1）已知函数f（x）＝ax⁴+x³﹣3（2a+1）x²﹣x+3．
（i）当a≤0时，讨论f₁（x）的凹凸性；
（ii）当a＝0时，点P在y轴右侧且为f（x）的“3切点”，求点P的集合；
（2）已知函数g（x）＝xe^x，点Q在y轴左侧且为g（x）的“3切点”，写出点Q的集合（不需要写出求解过程）．