已知函数且求曲线在点处的切线方程求函数的极值

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231829. （2025•西工大附中•高二下一月）已知函数f（x）＝x³+ax²，a∈R，且f′（﹣1）＝5．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

共享时间:2025-04-10 难度:2

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[考点]

利用导数求解函数的极值，利用导数求解曲线在某点上的切线方程，

[答案]

（1）x﹣y﹣1＝0；

（2）极大值0，极小值

．

[解析]

解：（1）已知f（x）＝x³+ax²，a∈R，函数定义域为R，
可得f′（x）＝3x²+2ax，
因为f′（﹣1）＝5，所以3﹣2a＝5，解得a＝﹣1，
此时f（x）＝x³﹣x²，f′（x）＝3x²﹣2x，
易知f（1）＝0，f′（1）＝1，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0．
（2）由（1）知f′（x）＝x（3x﹣2），当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝0时，函数f（x）取得极大值，极大值f（0）＝0；
当

时，函数f（x）取得极小值，极小值

．

[点评]

本题考查了"利用导数求解函数的极值，利用导数求解曲线在某点上的切线方程，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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169270. （2025•西工大附中•高二上期末）已知函数f（x）＝x³﹣（a+1）x²+a（a+1）x（a∈R）的图象在原点处的切线的斜率为2．
（1）求a的值；
（2）若a＞0，求曲线y＝f（x）的过点A（1，1）的切线方程．

共享时间:2025-02-18 难度:1 相似度:1.5

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166368. （2024•长安区一中•高三上四月）已知函数f（x）＝a^x，g（x）＝log_ax，其中a＞1．
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna的单调区间；
（2）若曲线y＝f（x）在点（x₁，f（x₁））处的切线与曲线y＝g（x）在点（x₂，g（x₂））处的切线平行，证明x₁+g（x₂）＝﹣

．

共享时间:2024-02-12 难度:2 相似度:1

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171181. （2024•西安八十三中•高三上期中）已知函数

．
（1）若

，求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（2）若﹣1＜a＜0，判断f（x）极大值点的个数．

共享时间:2024-11-28 难度:2 相似度:1

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230610. （2025•临潼区•二模）已知函数

．
（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a变化时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率能否为1？若能，求a的值，若不能，说明理由．

共享时间:2025-03-24 难度:2 相似度:1

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231771. （2025•师大附中•高二下二月）已知

是函数f（x）＝（a+1）lnx+ax²+1的极值点，a∈R．
（1）求a；
（2）判断函数y＝f（x）的零点个数，并证明．

共享时间:2025-06-30 难度:2 相似度:1

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231869. （2025•曲江二中•高二下一月）已知函数

．
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线5x﹣2y+1＝0垂直，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，求实数k的取值范围．

共享时间:2025-04-15 难度:2 相似度:1

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232551. （2024•经开一中•高二下一月）已知函数f（x）＝e^x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y＝f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值并求该切线方程；
（2）当x＞0时，证明：x²＜e^x．

共享时间:2024-04-16 难度:2 相似度:1

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232637. （2023•鄠邑二中•高三上三月）已知函数f（x）＝（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-01-29 难度:2 相似度:1

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169677. （2024•西电附中•高二上期末）已知函数

．
（1）若a＝﹣4，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，求a的最小值．

共享时间:2024-02-14 难度:3 相似度:0.83

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170877. （2025•师大附中•高二下期中）已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知函数

，求g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意

，都有f（x）≤ax﹣e（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．

共享时间:2025-04-26 难度:3 相似度:0.83

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230476. （2025•西安中学•二模）已知函数f（x）＝xlnx﹣x．
（1）若f（x）≥mx﹣e²对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若x₀是函数h（x）＝f（x）+x²的极值点，求证：f（x₀）+3x₀＞0．

共享时间:2025-03-19 难度:3 相似度:0.83

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230685. （2025•西安三中•四模）已知函数f（x）＝e^x^﹣lna﹣sinx，x∈（0，+∞）．
（1）当a＝e时，求y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）≥0恒成立，求a的范围；
（3）若f（x）在（0，π）内有两个不同零点x₁，x₂，求证：

．

共享时间:2025-04-30 难度:3 相似度:0.83

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2025-04-10

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