已知函数当时求的最大值若函数有两个零点求的取值范围

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168276. （2021•西安中学•五模）已知函数

．
（1）当k＝﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求k的取值范围．

共享时间:2021-05-15 难度:1

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[考点]

利用导数求解函数的最值，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）当k＝﹣1时，

，f'（x）＝﹣e^xx﹣x＝﹣x（e^x+1）
当x＜0时，f'（x）＞0，当x＞0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）在x＝0时取到最大值，最大值为f（0）＝1．
（2）f'（x）＝ke^xx﹣x＝x（ke^x﹣1），
当k＜0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，又因为f（0）＝﹣k＞0，

，

，所以f（x）有两个零点；
当k＝0时，

，所以此时f（x）只有一个零点；
当k＝1时，f'（x）＝e^xx﹣x＝x（e^x﹣1）≥0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，f（x）不存在两个零点；
当0＜k＜1时，

，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，﹣lnk）上单调递减，在（﹣lnk，+∞）上单调递增，且f（0）＝﹣k＜0，f（x）不存在两个零点；
当k＞1时，

，f（x）在（﹣∞，﹣lnk）上单调递增，在（﹣lnk，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且

，f（x）不存在两个零点．
综上，当f（x）有两个零点时，k的取值范围是（﹣∞，0）．

[点评]

本题考查了"利用导数求解函数的最值，"，属于"基础题"，熟悉题型是解题的关键。

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②平面直角坐标系中的点P称为函数f（x）的“k切点”，当且仅当过点P恰好能作曲线y＝f（x）的k条切线，其中k∈N．
（1）已知函数f（x）＝ax⁴+x³﹣3（2a+1）x²﹣x+3．
（i）当a≤0时，讨论f₁（x）的凹凸性；
（ii）当a＝0时，点P在y轴右侧且为f（x）的“3切点”，求点P的集合；
（2）已知函数g（x）＝xe^x，点Q在y轴左侧且为g（x）的“3切点”，写出点Q的集合（不需要写出求解过程）．

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