已知函数在单调递增求的值解不等式为函数的导函数证明

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231851. （2025•铁一中学•高二下一月）已知函数

在（﹣1，+∞）单调递增．
（1）求a的值；
（2）解不等式2f′（x）﹣x²＜0（f′（x）为函数的f（x）导函数）；
（3）证明：

．

共享时间:2025-04-23 难度:2

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[考点]

利用导数求解函数的单调性和单调区间，利用导数求解函数的最值，

[答案]

（1）a＝1；（2）（0，+∞）；（3）证明见解析．

[解析]

解：（1）f′（x）＝x+a[1﹣ln（x+1）﹣1]＝x﹣aln（x+1），
由函数f（x）在（﹣1，+∞）单调递增，
则f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，
令g（x）＝f′（x）＝x﹣aln（x+1），即g（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，
若a≤0，则当x∈（﹣1，0）时，g（x）＝x﹣aln（x+1）＜0，不符；
故a＞0，

，
当x∈（﹣1，a﹣1），g′（x）＜0，当x∈（a﹣1，+∞），g′（x）＞0，
故g（x）在（﹣1，a﹣1）上单调递减，在（a﹣1，+∞）上单调递增，
则有g（x）_min＝g（a﹣1）＝a﹣1﹣alna≥0，
令h（a）＝a﹣1﹣alna，则h′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣1na，
当a∈（0，1），h′（a）＞0，当a∈（1，+∞），h′（a）＜0，
故h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则h（a）≤h（1）＝1﹣1﹣0＝0，
故当且仅当a＝1时，g（x）≥0恒成立，即a＝1；
（2）由a＝1，则

，
f′（x）＝x﹣ln（x+1），
则2f'（x）﹣x²＝2x﹣2ln（x+1）﹣x²＜0，
令μ（x）＝2x﹣2ln（x+1）﹣x²，
则

，
故μ（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，又μ（0）＝0﹣2ln1﹣0＝0，
故当x＞0时，2f'（x）﹣x²＜0，
即不等式2f'（x）﹣x²＜0的解集为（0，+∞）；
（3）证明：由（2）知，2x﹣2ln（x+1）﹣x²＜0在（0，+∞）上恒成立，
故2ln（x+1）＞2x﹣x²，
令

，则

，
则

，
有

，…，

，
故

，
由（1）知，

在（﹣1，+∞）单调递增，
又

，故

在（0，+∞）上恒成立，
即有

在（0，+∞）上恒成立，
令

，
即有

，
化简得

，
即

，
则

，
又

，
故

，
即

．

[点评]

本题考查了"利用导数求解函数的单调性和单调区间，利用导数求解函数的最值，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166664. （2024•高新一中•三模）阅读以下材料：
①设f′（x）为函数f（x）的导函数．若f′（x）在区间D单调递增；则称f（x）为区D上的凹函数；若f′（x）在区间D上单调递减，则称f（x）为区间D上的凸函数．
②平面直角坐标系中的点P称为函数f（x）的“k切点”，当且仅当过点P恰好能作曲线y＝f（x）的k条切线，其中k∈N．
（1）已知函数f（x）＝ax⁴+x³﹣3（2a+1）x²﹣x+3．
（i）当a≤0时，讨论f₁（x）的凹凸性；
（ii）当a＝0时，点P在y轴右侧且为f（x）的“3切点”，求点P的集合；
（2）已知函数g（x）＝xe^x，点Q在y轴左侧且为g（x）的“3切点”，写出点Q的集合（不需要写出求解过程）．

共享时间:2024-04-04 难度:2 相似度:2

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169571. （2024•师大附中•高二下期末）已知函数f（x）＝ax﹣2lnx．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）当x＞1时，不等式f（x）＜（x﹣2）lnx+2x+a﹣1恒成立，求整数a的最大值．

共享时间:2024-07-27 难度:2 相似度:2

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170877. （2025•师大附中•高二下期中）已知函数f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知函数

，求g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意

，都有f（x）≤ax﹣e（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．

共享时间:2025-04-26 难度:3 相似度:1.67

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231705. （2015•西安八十三中•二模）已知函数f（x）＝e^x﹣ax﹣1，其中a为实数，
（1）若a＝1，求函数f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）＝0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围；
（3）设a_k，b_k（k＝1，2…，n）均为正数，且a₁b₁+a₂b₂…a_nb_n≤b₁+b₂…b_n，求证：

＜1．

共享时间:2015-03-15 难度:1 相似度:1.5

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231445. （2016•西工大附中•六模）已知函数f（x）＝

﹣lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k＝2，判断方程f（x）﹣1＝0在区间（0，1）内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的M＞0，总存在正数x₀，使得当x＞x₀时，恒有

﹣lnx＞M．

共享时间:2016-05-25 难度:1 相似度:1.5

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231421. （2016•西工大附中•六模）已知函数f（x）＝

﹣lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k＝2，判断方程f（x）﹣1＝0在区间（

，1）内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的M＞0，总存在正数x₀，使得当x＞x₀时，恒有

﹣M＞lnx．

共享时间:2016-05-26 难度:1 相似度:1.5

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231244. （2016•西工大附中•九模）已知函数f（x）的导函数f′（x）＝x²+2ax+b（ab≠0），且f（0）＝0．设曲线y＝f（x）在原点处的切线l₁的斜率为k₁，过原点的另一条切线l₂的斜率为k₂．
（1）若k₁：k₂＝4：5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k₂＝tk₁时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）＜f（1﹣2t）成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2016-06-18 难度:1 相似度:1.5

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230935. （2017•西工大附中•八模）已知函数f（x）＝e^t^（x﹣1）﹣tlnx（常数t＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与直线y＝tx相切，证明：t＜2．

共享时间:2017-06-15 难度:1 相似度:1.5

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236196. （2018•西安中学•高二下期末）已知函数f（x）＝x³+ax²+bx+c在x＝﹣

与x＝1时都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

共享时间:2018-07-08 难度:1 相似度:1.5

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232111. （2024•西工大附中•高二下一月）已知函数

．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在

成立，求整数a的最小值．

共享时间:2024-04-28 难度:1 相似度:1.5

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172313. （2022•师大附中•高二下期中）已知函数f（x）＝x²﹣2x+alnx（a∈R）．
（1）当a＝﹣4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2022-05-16 难度:1 相似度:1.5

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232289. （2023•铁一中学•高三上四月）已知函数f（x）＝xe^x，g（x）＝xlnx．
（1）证明：f（x）≥x+lnx+1；
（2）若存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，x₄，证明：x₁x₃＝x₂x₄．

共享时间:2023-02-28 难度:1 相似度:1.5

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232550. （2024•经开一中•高二下一月）已知函数f（x）＝﹣x²+ax﹣lnx﹣1．
（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（2，4）上单调递减，求实数a的取值范围．

共享时间:2024-04-16 难度:1 相似度:1.5

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237614. （2020•西安中学•高二下期中）设函数f（x）＝（x²+3x+1）e^x．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）求函数f（x）的极值．

共享时间:2020-05-11 难度:1 相似度:1.5

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231867. （2025•曲江二中•高二下一月）已知函数f（x）＝3x³﹣9x+5．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．

共享时间:2025-04-15 难度:1 相似度:1.5

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dygzsxyn

2025-04-23

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2024-2025学年陕西省西安市铁一中学高二（下）月考数学试卷（一）

更新:2025-04-23 11:07浏览量:9

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