已知函数若对任意的恒成立求实数的取值范围若是函数的极值点求证

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230476. （2025•西安中学•二模）已知函数f（x）＝xlnx﹣x．
（1）若f（x）≥mx﹣e²对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若x₀是函数h（x）＝f（x）+x²的极值点，求证：f（x₀）+3x₀＞0．

共享时间:2025-03-19 难度:3

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[考点]

利用导数求解函数的极值，利用导数求解函数的最值，不等式恒成立的问题，

[答案]

（1）（﹣∞，2]．

（2）证明见解析．

[解析]

（1）解：不等式f（x）≥mx﹣e²，即为xlnx﹣x≥mx﹣e²，
由x＞0，则

，令

，
则

，
当x∈（0，e²）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（e²，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以

＝2，
所以m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．
（2）证明：由h（x）＝xlnx﹣x+x²，则h′（x）＝lnx+2x，令H（x）＝h′（x），
求导可得

在（0，+∞）上恒成立，
则函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，即函数h′（x）在（0，+∞）上单调递增，
由x₀是函数h（x）的极值点，则h′（x₀）＝0，即lnx₀＝﹣2x₀，
由h′（1）＝2＞0，则0＜x₀＜1，
所以

．

[点评]

本题考查了"利用导数求解函数的极值，利用导数求解函数的最值，不等式恒成立的问题，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

231771. （2025•师大附中•高二下二月）已知

是函数f（x）＝（a+1）lnx+ax²+1的极值点，a∈R．
（1）求a；
（2）判断函数y＝f（x）的零点个数，并证明．

共享时间:2025-06-30 难度:2 相似度:1.67

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231445. （2016•西工大附中•六模）已知函数f（x）＝

﹣lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k＝2，判断方程f（x）﹣1＝0在区间（0，1）内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的M＞0，总存在正数x₀，使得当x＞x₀时，恒有

﹣lnx＞M．

共享时间:2016-05-25 难度:1 相似度:1.33

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232511. （2023•华清中学•高一上二月）已知函数

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若f（x）≥m对于x∈[3，+∞）恒成立，求实数m的范围．

共享时间:2023-12-18 难度:1 相似度:1.33

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231705. （2015•西安八十三中•二模）已知函数f（x）＝e^x﹣ax﹣1，其中a为实数，
（1）若a＝1，求函数f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）＝0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围；
（3）设a_k，b_k（k＝1，2…，n）均为正数，且a₁b₁+a₂b₂…a_nb_n≤b₁+b₂…b_n，求证：

＜1．

共享时间:2015-03-15 难度:1 相似度:1.33

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231421. （2016•西工大附中•六模）已知函数f（x）＝

﹣lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k＝2，判断方程f（x）﹣1＝0在区间（

，1）内实数解的个数；
（3）证明：对任意给定的M＞0，总存在正数x₀，使得当x＞x₀时，恒有

﹣M＞lnx．

共享时间:2016-05-26 难度:1 相似度:1.33

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232289. （2023•铁一中学•高三上四月）已知函数f（x）＝xe^x，g（x）＝xlnx．
（1）证明：f（x）≥x+lnx+1；
（2）若存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，x₄，证明：x₁x₃＝x₂x₄．

共享时间:2023-02-28 难度:1 相似度:1.33

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168276. （2021•西安中学•五模）已知函数

．
（1）当k＝﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求k的取值范围．

共享时间:2021-05-15 难度:1 相似度:1.33

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236646. （2017•铁一中学•高一下期末）已知函数f（x）＝x²﹣2x﹣8，g（x）＝2x²﹣4x﹣16．
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2017-07-14 难度:1 相似度:1.33

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232551. （2024•经开一中•高二下一月）已知函数f（x）＝e^x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y＝f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值并求该切线方程；
（2）当x＞0时，证明：x²＜e^x．

共享时间:2024-04-16 难度:2 相似度:0.83

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231871. （2025•曲江二中•高二下一月）已知函数f（x）＝ax+

﹣lnx，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥e^﹣ax恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2025-04-15 难度:2 相似度:0.83

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231851. （2025•铁一中学•高二下一月）已知函数

在（﹣1，+∞）单调递增．
（1）求a的值；
（2）解不等式2f′（x）﹣x²＜0（f′（x）为函数的f（x）导函数）；
（3）证明：

．

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:0.83

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231833. （2025•西工大附中•高二下一月）已知函数f（x）＝e^x﹣1﹣x﹣ax²．
（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，若不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若x＞0，证明：（e^x﹣1）ln（x+1）＞x²．

共享时间:2025-04-10 难度:2 相似度:0.83

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231829. （2025•西工大附中•高二下一月）已知函数f（x）＝x³+ax²，a∈R，且f′（﹣1）＝5．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

共享时间:2025-04-10 难度:2 相似度:0.83

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232637. （2023•鄠邑二中•高三上三月）已知函数f（x）＝（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-01-29 难度:2 相似度:0.83

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237105. （2021•西工大附中•高一上期中）已知函数

．
（1）请判断函数f（x）在（0，1）和（1，+∞）内的单调性，并证明在（1，+∞）的单调性；
（2）若存在

，使得x²﹣ax+1≥0成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-11-30 难度:2 相似度:0.83

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2025年陕西省西安中学高考数学二模试卷

更新:2025-03-19 07:46浏览量:15

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