配方法是数学中重要的思想方法之一它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法这种方法常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义来解决一些问题我们定义一个整数能表示成是正整数的形式则称这个数为完美数例如是完美数理由因为所以是完美数解决问题已知是完美数请将它写成是正整数的形式若可配方成为正整数则

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198753. （2023•铁一中学•七下期中）配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a²+b²（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为5=2²+1²，所以5是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a²+b²（a,b是正整数）的形式；
（2）若x²-6x+13可配方成（x-m）²+n²（m、n为正整数），则mn= ；
【探究问题】
（3）已知S=x²+4y²+4x-12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．

共享时间:2023-05-26 难度:1

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[考点]

配方法的应用，

[答案]

（1）29＝5²+2²；

（2）12；

（3）S是一个“完美数”．

[解析]

解：（1）∵29是“完美数”，
∴29＝5²+2²；
故答案为：29＝5²+2²；
（2）∵x²﹣6x+13
＝（x²﹣6x+9）+4
＝（x﹣3）²+4，
又∵x²﹣6x+13＝（x﹣m）²+n，
∴m＝3，n＝4，
∴mn＝3×4＝12．
故答案为：12；
（3）当k＝13时，S是完美数，
理由如下：S＝x²+4y²+4x﹣12y+13
＝x²+4x+4+4y²﹣12y+9
＝（x+2）²+（2y﹣3）²，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y﹣3是整数，
∴S是一个“完美数”．

[点评]

本题考查了"配方法的应用，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

185300. （2024•师大附中•七下期中）阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫作配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²＝（a±b）²．
例如：（x﹣1）²+3，（x﹣2）²+2x，（

x﹣2）²+

x²是x²﹣2x+4的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据上述材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x²﹣4x+9的三种不同形式的配方；
（2）已知a²+b²+c²﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．

共享时间:2024-05-17 难度:2 相似度:1.5

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181445. （2024•铁一中学•七下一月）阅读下列材料：
a²±2ab+b²=（a±b）²，我们把形如“a²+2ab+b²”或“a²-2ab+b²”的多项式叫做完全平方式，因为（a±b）²是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解次问题的思路方法叫做配方法．用配方法解决下列问题：
（1）499²=（500-1）²=250000+ +1．
（2）当a,b为何值时，多项式a²+b²-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足a²+2b²+c²-2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．

共享时间:2024-04-18 难度:2 相似度:1.5

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192102. （2024•沣东中学•八下一月）先仔细阅读下列例题，再解答问题．
已知m²﹣4m+n²+6n+13＝0，求m和n的值．
解：把等式左边变形，得（m²﹣4m+4）+（n²+6n+9）＝0，
即（m﹣2）2+（n+3）2＝0．
因为（m﹣2）²≥0，（n+3）²≥0，
所以m﹣2＝0，n+3＝0，即m＝2，n＝﹣3．
仿照以上解法，解答下列问题：
（1）无论x，y取何值，多项式x²+y²﹣2x﹣4y+6的值总是　　；
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
（2）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a²+b²﹣12a﹣16b+

+100＝0，则△ABC为　　三角形；
（3）已知x²﹣4xy+5y²+y+

＝0，求x和y的值．

共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:1.5

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185197. （2025•西工大附中•七下期中）先化简，再求值：[（x+2y）²-（5x+y）（5x-y）-5y²]÷（-2x），其中x、y满足x²+y²-2x+6y+10=0．

共享时间:2025-05-14 难度:3 相似度:1.33

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185447. （2024•莲湖区•八下期中）根据等式和不等式的性质，可以得到：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b.这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小．
（1）若a-b+2＞0，则a+1 b-1．（填“＞”“=”或“＜”）
（2）已知A=5m²-7m+2，B=7（m²-m）+4，试比较A，B的大小．

共享时间:2024-05-21 难度:4 相似度:1.25

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192862. （2024•航天中学•八下一月）阅读下面文字内容：
对于形如x²+2ax+a²的二次三项式，可以直接用完全平方式把它分解成（x+a）²的形式，但对于二次三项式x²+4x-3，就不能直接用完全平方公式分解了．对此，我们可以添上一项4，使它与x²+4x构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即x²+4x-3=（x²+4x+4）-4-3=（x+2）²-7．像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法．
请用配方法解决下列问题：
（1）已知x²+y²-8x+12y+52=0，求（x+y）²的值；
（2）求x²+4x+7的最小值．

共享时间:2024-04-10 难度:3 相似度:1.25

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21440. （2020•铁一中学•八模）如图，AB＝8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．

问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为　　；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由。

共享时间:2020-07-21 难度:5 相似度:1.2

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179783. （2025•交大附中•七下期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求a²+6a+8的最小值．
解：a²+6a+8=a²+6a+3²-3²+8=（a+3）²-1，因为不论a取何值，（a+3）²总是非负数，即（a+3）²≥0，所以当a=-3时，（a+3）²取最小值0，（a+3）²-1有最小值-1．
即当a=-3时，a²+6a+8有最小值-1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）将x²-10x+27变形为（x-m）²+n的形式，则x²-10x+27的最小值为；
（2）如果A-B＜0，则A＜B；如果A-B=0，则A=B；如果A-B＞0，则A＞B．
已知A=2x²-3x+2，B=x²-x-1，请比较A与B的大小，并说明理由；
（3）已知a²+b²-6a-14b+58=0，求2a-b的值．

共享时间:2025-05-12 难度:5 相似度:1.2

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19855. （2021•陕西省•真题）问题提出
（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-25 难度:5 相似度:1.14

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198659. （2022•西工大附中•九上期中）（1）小明同学在研究二次三项式﹣2x²﹣4x+5时，对其进行了配方，思路为﹣2x²﹣4x+5＝﹣2（x²+2x）+5＝﹣2[（x+1）²﹣1]+5＝﹣2（x+1）²+7，从而他得出二次三项式﹣2x²﹣4x+5的最大值为　　．
（2）如图①，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC上，BD＝6，CE＝2，且∠ADE＝60°，求AB的长．
（3）如图②，在△ABC中，BC＝30，∠C＝45°，tanB＝

，点D、F、G、E分别在AC、AB和BC上，且∠EDF＝90°，DF＝DE，∠FGE＝45°，设EC为x，请用含有x的式子表示四边形DFGE的面积，并探究其有无最值？如果有，求出这个最值；如果没有，请说明理由．

共享时间:2022-11-11 难度:5 相似度:1.14

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20186. （2021•西工大附中•五模）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．过点C作直线l，再分别过点A、B作AM⊥l于M，BN⊥l于N．则线段MN、AM、BN之间的数量关系为___________；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30，BC＝40，点P在AB上，点E、F分别是边AC、BC上，且∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．设BP＝x，求四边形CEPF的面积y与x之间的函数关系式；
（3）如图③是一个圆形广场，其中四边形ACBD规划为园林绿化区（四个顶点均在圆上），且要求∠ACB＝90°，AC＝30米，BC＝40米，连接AB、CD交于点P．为了更好的美化环境，需要在AC、BC边上分别确定点E、F，且满足∠ABC＝∠FPB，PE⊥PF．为了整体布局，计划在四边形CEPF内种植花卉，在四边形ACBD剩余区域种植草坪．已知花卉每平方米的价格是60元，草坪每平方米的价格是90元，从实用角度希望四边形CEPF的面积最大．根据设计要求，求出当四边形CEPF的面积最大时种植花卉和草坪的总费用．

共享时间:2021-06-03 难度:5 相似度:1.13

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dyczsxyn

2023-05-26

初中数学 | 七年级下 | 解答题

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2022-2023学年陕西省西安市碑林区铁一中学七年级（下）期中数学试卷

更新:2023-05-26 03:22浏览量:9

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