小明同学在研究二次三项式时对其进行了配方思路为从而他得出二次三项式的最大值为如图在等边中点分别在和上且求的长如图在中点分别在和上且设

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198659. （2022•西工大附中•九上期中）（1）小明同学在研究二次三项式﹣2x²﹣4x+5时，对其进行了配方，思路为﹣2x²﹣4x+5＝﹣2（x²+2x）+5＝﹣2[（x+1）²﹣1]+5＝﹣2（x+1）²+7，从而他得出二次三项式﹣2x²﹣4x+5的最大值为　　．
（2）如图①，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC上，BD＝6，CE＝2，且∠ADE＝60°，求AB的长．
（3）如图②，在△ABC中，BC＝30，∠C＝45°，tanB＝

，点D、F、G、E分别在AC、AB和BC上，且∠EDF＝90°，DF＝DE，∠FGE＝45°，设EC为x，请用含有x的式子表示四边形DFGE的面积，并探究其有无最值？如果有，求出这个最值；如果没有，请说明理由．

共享时间:2022-11-11 难度:5

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[考点]

非负数的性质：偶次方，配方法的应用，等边三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，

[答案]

（1）7；

（2）9；

（3）四边形DFGE的面积为

（x﹣10）²+75，有最小值为75，最大值为112.5．

[解析]

解：（1）∵﹣2x²﹣4x+5
＝﹣2（x²+2x）+5
＝﹣2[（x+1）²﹣1]+5
＝﹣2（x+1）²+7≤7，
故答案为：7；
（2）∵∠B＝∠ADE＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠ADB+∠CDE＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴

＝

，即：

＝

，
解得：AB＝9；
（2）如图：过D作DH⊥BC 于点H，过F作FP⊥BC于点P，过D作DG⊥FP于点G，

∴四边形PHDG为矩形，
∴∠GDH＝90°，
∴∠FDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDH，
∴∠FDG＝∠EDH，
∵DF＝DE，
∴△FDG≌△EHD（AAS），
∴DG＝DH，FG＝EH，
∴四边形DGPH为正方形，
∵∠C＝45°，
∴设DH＝CH＝DG＝GP＝OH＝m，
∴EH＝FG＝x﹣m，
∴FP＝x﹣m+m＝x，
∵∠FGE＝45°，
∴PG＝PF＝x，
∵tanB＝

＝

，
∴BP＝2FP＝2x，
∴2x+2m＝30，
∴m＝15﹣x，
∴四边形DFGE的面积为三角形PFG的面积于正方形DGPH的面积的和，
为：

x²+m²
＝

x²+（15﹣x）²
＝

（x﹣10）²+75≥75，
所以四边形DFGE的面积为

（x﹣10）²+75，最小值为75，
∴5≤x≤10，
所以当x＝5时，四边形DFGE的面积有最大值，最大值为：112.5

[点评]

本题考查了"非负数的性质：偶次方，配方法的应用，等边三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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（1）求证：BE＝AC；
（2）若AB＝13m，CD＝5m，求绿地四边形ABCD的面积．

共享时间:2024-11-17 难度:3 相似度:1.43

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23398. （2020•铁一中学•八上二月）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE，AF平分∠DAE交BC于F．
（1）探究线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明；
（2）若BD=3、CF=4，求AD的长．
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