小明同学在研究二次三项式时对其进行了配方思路为从而他得出二次三项式的最大值为如图在等边中点分别在和上且求的长如图在中点分别在和上且设

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198659. （2022•西工大附中•九上期中）（1）小明同学在研究二次三项式﹣2x²﹣4x+5时，对其进行了配方，思路为﹣2x²﹣4x+5＝﹣2（x²+2x）+5＝﹣2[（x+1）²﹣1]+5＝﹣2（x+1）²+7，从而他得出二次三项式﹣2x²﹣4x+5的最大值为　　．
（2）如图①，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC上，BD＝6，CE＝2，且∠ADE＝60°，求AB的长．
（3）如图②，在△ABC中，BC＝30，∠C＝45°，tanB＝

，点D、F、G、E分别在AC、AB和BC上，且∠EDF＝90°，DF＝DE，∠FGE＝45°，设EC为x，请用含有x的式子表示四边形DFGE的面积，并探究其有无最值？如果有，求出这个最值；如果没有，请说明理由．

共享时间:2022-11-11 难度:5

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[考点]

非负数的性质：偶次方，配方法的应用，等边三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，

[答案]

（1）7；

（2）9；

（3）四边形DFGE的面积为

（x﹣10）²+75，有最小值为75，最大值为112.5．

[解析]

解：（1）∵﹣2x²﹣4x+5
＝﹣2（x²+2x）+5
＝﹣2[（x+1）²﹣1]+5
＝﹣2（x+1）²+7≤7，
故答案为：7；
（2）∵∠B＝∠ADE＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠ADB+∠CDE＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴

＝

，即：

＝

，
解得：AB＝9；
（2）如图：过D作DH⊥BC 于点H，过F作FP⊥BC于点P，过D作DG⊥FP于点G，

∴四边形PHDG为矩形，
∴∠GDH＝90°，
∴∠FDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDH，
∴∠FDG＝∠EDH，
∵DF＝DE，
∴△FDG≌△EHD（AAS），
∴DG＝DH，FG＝EH，
∴四边形DGPH为正方形，
∵∠C＝45°，
∴设DH＝CH＝DG＝GP＝OH＝m，
∴EH＝FG＝x﹣m，
∴FP＝x﹣m+m＝x，
∵∠FGE＝45°，
∴PG＝PF＝x，
∵tanB＝

＝

，
∴BP＝2FP＝2x，
∴2x+2m＝30，
∴m＝15﹣x，
∴四边形DFGE的面积为三角形PFG的面积于正方形DGPH的面积的和，
为：

x²+m²
＝

x²+（15﹣x）²
＝

（x﹣10）²+75≥75，
所以四边形DFGE的面积为

（x﹣10）²+75，最小值为75，
∴5≤x≤10，
所以当x＝5时，四边形DFGE的面积有最大值，最大值为：112.5

[点评]

本题考查了"非负数的性质：偶次方，配方法的应用，等边三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
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共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.29

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.14

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.14

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.14

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.14

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:0.79

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850. （2014•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2014-09-18 难度:3 相似度:0.76

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921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:0.69

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1001. （2018•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为　　．
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、

是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，

所对的圆心角为60°，新区管委会想在

路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在

、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

共享时间:2018-07-02 难度:5 相似度:0.69

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1089. （2020•陕西省•真题）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．