已知如图在四边形中且点是边的中点求证作垂足为点并交于点求证

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191890. （2023•经开二校•九上二月） $德优题库$ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，BD⊥DC，且BD²=AD•BC，
点M是边BC的中点．
（1）求证：AD∥BC；
（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．求证：2AD•DM=DF•DC．

共享时间:2023-12-12 难度:2

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[考点]

直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质，

[答案]

（1）（2）证明见解析；

[解析]

证明：（1）∵BD⊥DC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠A＝∠BDC，
∵BD²＝AD•BC，
∴

＝

，
∴cos∠ADB＝cos∠DBC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴△ABD∽△DCB，
∴∠ADC＝∠DBC，
∴AD∥BC；
（2）解：∵BE⊥DM，
∴∠DBF+∠BDM＝90°，
而∠BDM+∠MDC＝90°，
∴∠DBE＝∠MDC，
又M是边BC的中点，
∴DM＝BM＝CM＝

BC，
∴∠MDC＝∠DCM，
∴∠DBE＝∠DCM，
∴△BDF∽△CDB，
∴BD²＝DF•DC，
而BD²＝AD•BC，
∴AD•BC＝DF•DC，
∴2AD•DM＝DF•DC．

[点评]

本题考查了"直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

192223. （2024•高新三中•八下二月）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.5

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179451. （2024•高新一中•九上期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝2AD，AC＝2AE．若BC＝6，求DE的长．

共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:1.5

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173451. （2024•西光中学•九上一月） $德优题库$ 已知：如图，△ABC中，AB=4，BC=8，D为BC边上一点，BD=2．
求证：∠BDA=∠BAC．

共享时间:2024-10-27 难度:1 相似度:1.5

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174121. （2024•铁一中学•九上一月）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．

（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若

，且AE＝4，求AB的长．

共享时间:2024-10-28 难度:1 相似度:1.5

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174912. （2024•滨河中学•九上一月）如图．四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．连接CE，DE．
（1）求证：AC²＝AB•AD；
（2）若AD＝3，AB＝5．求

的值．

共享时间:2024-10-21 难度:3 相似度:1.5

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174972. （2024•西安三中•九上二月）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB、AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．

共享时间:2024-12-29 难度:1 相似度:1.5

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20861. （2020•高新一中•一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G．
（1）求证：FG⊥AB；
（2）若AC＝6，BC＝8，求FG的长．

共享时间:2020-06-18 难度:4 相似度:1.5

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179655. （2024•铁一中学•九上期中）．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，且

．
（1）求证：∠DAC＝∠B；
（2）若AC＝4，BC＝8，△DAC的面积为9，求△ABC的面积．

共享时间:2024-11-17 难度:1 相似度:1.5

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190107. （2025•未央区•九上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠C=∠ADE，AB=3，AD=2，AC=8，求AE的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.5

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189760. （2025•长安区•九上期末）如图，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．求证：

．

共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.5

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190437. （2025•铁一中学•九上期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E，∠CAB=∠CBD，已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5，求DE的长．

共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.5

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190637. （2025•二十六中•九上期末）如图，点E是△ABC的边BC上的点，AB＝18，AE＝15．若∠BAE＝∠CAD，

，求证：∠C＝∠D．

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:1.5

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175926. （2024•交大附中•九上一月）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AE交AB边上的中线CD于点F．
（1）求证：△ACF∽△ABE．
（2）若AF＝2，求AE的长．

共享时间:2024-10-16 难度:4 相似度:1.4

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6320. （2017•西工大附中•模拟）问题发现．
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．