如图在平行四边形中对角线相交于点点是的中点过点作交于点求证四边形是矩形若矩形求的长

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175624. （2024•理工大附中•九上一月） $德优题库$ 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F．
（1）求证：四边形OEFB是矩形；
（2）若AD=6，S_矩形OEFB=12，求AB的长．

共享时间:2024-10-13 难度:3

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[考点]

三角形中位线定理，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，

[答案]

（1）证明见解析；

（2）10．

[解析]

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AD∥BC，AB∥CD．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线．
∴

，OE∥BC．
∵EF∥BD，OE∥BC，
∴四边形OEFB是平行四边形．
∵AD⊥BD，AD∥BC，
∴BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°．
∴四边形OEFB是矩形．
（2）解：∵

，S_矩形OEFB＝OB×OE＝12，
∴OB＝4．
∴BD＝2OB＝8．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
由勾股定理得，

．
即AB的长为10．

[点评]

本题考查了"三角形中位线定理，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

172483. （2024•高新陆港•九上一月） $德优题库$ 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．
（1）求证：平行四边形ABCD为矩形；
（2）若AB=4，求四边形ABCD的面积．

共享时间:2024-10-27 难度:3 相似度:1.34

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23873. （2020•益新中学•九上期末）如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC=∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP=3，AD=9时，求AQ和CQ的长．
$德优题库$

共享时间:2021-03-28 难度:4 相似度:1.07

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21433. （2020•铁一中学•八模）如图所示，▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE=CF．

共享时间:2020-07-21 难度:3 相似度:0.83

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175085. （2024•西安三中•九上一月） $德优题库$ ▱ABCD中，E是CD的中点，∠BAE=∠ABE，求证：四边形ABCD是矩形．

共享时间:2024-10-18 难度:2 相似度:0.83

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174814. （2024•灞桥区•九上一月） $德优题库$ 如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s.连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．