如图在平行四边形中是上一点不与点重合过点作交于点连接求证四边形是矩形当时求和的长

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23873. （2020•益新中学•九上期末）如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC=∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP=3，AD=9时，求AQ和CQ的长．
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共享时间:2021-03-28 难度:4

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[考点]

全等三角形的判定与性质，互余模型，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，

[答案]

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[解析]

（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，

，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，
在Rt△APQ中，AQ²+AP²＝PQ²，
∴x²+3²＝（9﹣x）²，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝

＝5

．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性质,互余模型,勾股定理,平行四边形的性质,矩形的判定与性质"，属于"综合题"，熟悉考点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

957. （2016•陕西省•真题）如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．

共享时间:2016-07-11 难度:3 相似度:1.4

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4683. （2018•交大附中•模拟）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE．求证：DE＝AC．

共享时间:2018-06-25 难度:3 相似度:1.4

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3139. （2018•滨河中学•真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．
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共享时间:2019-05-31 难度:3 相似度:1.4

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4533. （2018•交大附中•模拟）如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．
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共享时间:2018-06-06 难度:3 相似度:1.4

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.2

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.2

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.2

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6239. （2017•铁一中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.2

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.2

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6063. （2017•铁一中学•模拟）如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连接AE交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF．
（2）连接AC、BE，若∠AFC=2∠D，求证：四边形ABEC是矩形．
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共享时间:2017-05-28 难度:3 相似度:1.07

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6113. （2016•西工大附中•真题）如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF=DE，连接AF、CE．求证：AF∥CE．
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共享时间:2017-07-21 难度:3 相似度:1.07

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6163. （2017•师大附中•模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM，CM、BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AB=AE；
（2）若BM平分∠ABC，求证：∠BME=90°．
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共享时间:2017-06-21 难度:3 相似度:1.07

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3113. （2019•滨河中学•模拟）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．
（1）求证：四边形MANP是正方形；
（2）求证：EM＝BN．

共享时间:2019-06-03 难度:3 相似度:1.07

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:0.9

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6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
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共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:0.7

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更新:2021-03-28 05:49浏览量:992