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2020-2021学年陕西省西安中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点（2，1），则cos2θ＝（　　）

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2. （本题5分）向量

＝（m，1），

＝（n，1），则m＝n是

∥

的（　　）

A.充分而不必要条件	B.必要而不充分条件
C.充分必要条件	D.既不充分也不必要条件

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3. （本题5分）下面有四个命题：
p₁：∃x∈R，sinx+cosx≥

；
p₂：∀x∈R，tanx＝

；
p₃：∃x∈R，x²+x+1≤0；
p₄：∀x＞0，x+

≥2．
其中假命题的是（　　）

A.p₁，p₄

B.p₂，p₄

C.p₁，p₃

D.p₂，p₃

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4. （本题5分） “辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入m＝2020，n＝303时，则输出的m是（　　）

A.2

B.6

C.101

D.202

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5. （本题5分） i为虚数单位，若

，则|z|＝（　　）

A.1

D.2

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6. （本题5分）如图，在△ABC中，D是边BC延长线上一点，

＝

，则（　　）

A.	B.
C.	D.

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7. （本题5分）关于函数f（x）＝3﹣2cosx（cosx﹣sinx），有以下4个结论：
①f（x）的最小正周期是π；②f（x）的图象关于点

中心对称；③f（x）的最小值为

；④f（x）在区间

内单调递增．
其中所有正确结论的序号是（　　）

A.①②③

B.①③

C.②④

D.②③④

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8. （本题5分）已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C、D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B处后再次观察帐篷C，D，此时二者分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C，D之间的距离为（　　）

A.10

米

B.10

米

C.5

米

D.5

米

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9. （本题5分）甲、乙两人连续两天在同一个水果店购买了同一品种的砂糖橘，两天的价格不同，两人购买的方式不同，每人每天购买1次，甲每次总是买5斤，乙每次总是买20元的，设甲两次购买的平均价格为x元/斤，乙两次购买的平均价格为y元/斤，则下列关系式一定成立的是（　　）

A.	B.y²＞xy
C.sinx＞siny	D.

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10. （本题5分）若方程|lnx|＝m有两个不等的实根x₁和x₂，则x₁²+x₂²的取值范围是（　　）

A.（1，+∞）

C.（2，+∞）

D.（0，1）

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11. （本题5分）若sin（x+

）+cos（x﹣

）＝

，则sin（2x+

）＝（　　）

A.．

C.﹣

D.﹣

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12. （本题5分）已知函数

，若函数g（x）＝f（x）﹣ax+2a存在零点，则实数a的取值范围为（　　）

A.	B.
C.	D.

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）设函数f（x）＝

，则f[f（3）]＝　　．

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14. （本题5分）曲线y＝lnx﹣

在x＝1处的切线的倾斜角为α，则

的值为　　．

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15. （本题5分）若f（x）＝cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是　　．

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16. （本题5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2，若sin²A+sin²B﹣sinAsinB＝sin²C，则a+b的取值范围　　．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）已知函数

．
（Ⅰ）求f（x）的振幅、最小正周期和初相位；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移

个单位，得到函数y＝g（x）的图象，当

时，求g（x）的取值范围．

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18. （本题12分）已知f（x）＝x﹣sin2x，
（1）求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）求y＝f（x）在

上的最值．

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19. （本题12分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

．
（1）求sinAsinC；
（2）若cosAcosC＝

，b＝3，求a+c的值．

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20. （本题12分） 2019年12月以来，湖北武汉发生“新型冠状病毒肺炎”（简称新冠肺炎）疫情，全国人民凝心聚力，众志成城支援武汉．某省多家医院积极响应国家卫健委号召，组织病毒学专家、重症医学科医务人员、呼吸科医务人员、感染科医务人员等180名优秀医务人员奔赴武汉抗疫前线．有关数据见表1（单位：人）．
病毒学专家为了检测当地群众发烧是否更易受新冠肺炎疫情影响，在当地随机选取了1200名群众进行了检测，并将有关数据整理成2×2列联表（表2）．
表1：

	病毒学专家	重症医学科医务人员	呼吸科医务人员	感染科医务人员
相关人员数	20	60	40	60

表2：

	发烧	不发烧	合计
患新冠肺炎	500		700
未患新冠肺炎		280
合计			1200

（1）补充完整表2，并判断是否有99.9%的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关；
（2）若采用分层抽样的方法从病毒学专家，重症医学科医务人员和呼吸科医务人员中选6人参加新闻发布会，再从这6人中随机指定2人作为主讲人，求其中恰好有1人为重症医学科医务人员的概率．
K²临界值表：

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：

，其中n＝a+b+c+d．

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21. （本题12分）已知函数f（x）＝

x³﹣x²+x．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；
（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．

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22. （本题10分）已知函数f（x）＝|2x﹣3|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）＜9的解集；
（2）若对∀x∈[0，1]，不等式f（x）≥|2x+a|恒成立，求a的取值范围．

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23. （本题0分）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的参数方程为

（α为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

ρcos（θ﹣

）＝2．
（Ⅰ）直线l上的点M到极点O的距离是

，求点M的极坐标（θ∈[0，2π））；
（Ⅱ）设直线l与⊙C相交于A，B两点，求三角形OAB的面积．

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dygzsxyn

2020-12-23

高中数学 | 段考 | 难度:1.26

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