问题提出如图在中为上一点则面积的最大值是问题探究如图已知矩形的周长为求矩形面积的最大值问题解决如图是葛叔叔家的菜地示意图其中米米米现在他想利用周边地的情况把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大周长尽可能长的四边形地用来建鱼塘已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形且满足你认为葛叔叔的想法能否实现若能求出这个四边形鱼塘周长的

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441. （2016•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是　　．
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

共享时间:2016-07-15 难度:5

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[考点]

三角形三边关系，矩形的性质，四边形综合题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图①中，

∵BC＝6，AD＝4，
∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝

×6×4＝12．
故答案为12．

（2）如图②中，∵矩形的周长为12，
∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，
∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）²+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．

（3）如图③中，

∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，
∴AC²＝AB²+BC²
∴∠ABC＝90°，
作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，
∵∠ADC＝60°，
∴点D在优弧ADC上运动，
当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，
设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝

∠ADC，
∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，
∴DF＝DA，
∵DF+DC≥CF，
∴DA+DC≥D′A+D′C，
∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，
∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170（米）．
答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170（米）．

[点评]

本题考查了"三角形三边关系矩形的性质四边形综合题 "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

782. （2019•陕西省•暑假）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:1.34

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212524. （2025•西工大附中•一模）（1）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，其中对角线BD长为20cm,AC长为15cm,垂足为E，则四边形ABCD的面积为 cm²．
（2）如图2，矩形ABCD中，AD=6cm,AB=4cm,EF∥AD，点G，H分别是BC，AD上任一点，求四边形EGFH的面积．
（3）如图3，四边形ABCD放在了一组平行线中，已知BD=6cm,四边形ABCD的面积为24cm²，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米．
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共享时间:2025-03-05 难度:1 相似度:1.33

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196310. （2024•高新一中•九上期末）问题提出：
（1）如图①，已知△ABC是面积为

的等边三角形，AD是∠BAC的平分线，则AB的长为　　．
问题探究：
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EDF＝90°．证明：DE＝DF．
问题解决：
（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P，Q分别在AD，BC上，连接PQ、PB、PC，∠BPC＝60°，E、F分别在PB、PC上，连接QE、QF，QE＝QF，∠EQF＝120°，其中四边形PEQF种植玫瑰，△ABP和△PCD种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF的面积为

，为了节约成本，矩形花园ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD的最小面积，若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-02-28 难度:1 相似度:1.33

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192152. （2024•高新一中•八下一月）【问题出示】
（1）如图①，等腰△ABC中，∠BAC=30°，BC=BA=16，点M是直线AC上的动点，线段BM的最小值是．
$德优题库$
【问题探究】
（2）如图②，线段BM最短时，在（1）的条件下，线段BN是△ABM的角平分线，点P、Q分别在边BN、BM上运动，连接MP、QP，MP+QP的最小值是
【问题拓展】
（3）如图③，线段BM最短时，在（1）的条件下，点E在边CM上运动，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接MF，求线段MF的最小值．
【问题解决】
按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的0.7倍，例如：前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距离至少要14米才符合要求．
（4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形ABCD各边长都为90米，且两组对边分别平行，∠B=120°，DE长30米，AB边上任意一点F，计划在线段EF、FG、DG上修建三条小路，点G处修建业主活动楼，其中EF=FG，且∠EFG=60°．小区最南边一排（即线段AD处）楼高70米，当线段DG取最小值时，点G处的业主活动楼到线段AD处楼房的距离是否符合楼间距标准？请说明理由．

共享时间:2024-04-21 难度:1 相似度:1.33

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192228. （2024•高新三中•八下二月）问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，BC=4，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为；
问题探究：
（2）如图2，在△ABC中，∠B=60°，点Q在BC上，CQ=12，点P在AB上，AP=4，连接PQ，E、F分别为AC、PQ的中点，求EF的长度？
问题解决：
（3）西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪ABCD内对角线AC右侧修建一个三角形池塘△CMN．如图3，∠BAC=64°，∠MCN=26°，∠MNC=90°，A为草坪入口，B为草坪出口，在人行道AM的中点E处有一个凉亭，在池塘N处是一个观景台．游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？
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共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.33

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192295. （2023•高新一中•九上一月） $德优题库$ 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接BE、DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．

共享时间:2023-10-28 难度:1 相似度:1.33

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192301. （2023•高新一中•九上一月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，P为此三角形内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC的度数为．
问题探究
（2）如图2，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程．
问题解决
（3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，AB=70m,DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若AP的长为30m,则阴影部分的面积为 m²．
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共享时间:2023-10-28 难度:1 相似度:1.33

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192372. （2024•西工大附中•七下二月）问题提出
（1）如图①，四边形ABCD中，E在CD边上，AD=AE、AB=AC，∠DAE=∠BAC=40°，连结BE交AC于点P，若∠BPC=75°；则∠BCD= ．
问题探究
（2）如图②，已知等边三角形ABC，AB=8，P是其外一点，且∠APB=120°，PC=9，求四边形APBC的周长．
问题解决
（3）某市园林绿化部门为提升城市形象，绿化美化环境，拟在富样路一拆迁后的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为四边形ABCD，如图③所示．其中AB∥CD，∠C=90°，BC=CD，AD段临街道有足够长度，E是小道AB上某小区的入口（点E不在点B处），且AE=200米，设计人员准备将公园分成△ADE，△BDE与△BCD三大部分，F是△ADE内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计∠AEF=∠DAF=45°，AF⊥DF，△ADE内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约5元，留出适当大小的△BDE区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需28000元，△BCD内部种植月季等花卉，平均每平方米约需8元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费）
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共享时间:2024-06-28 难度:1 相似度:1.33

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192605. （2024•翱翔中学•七下一月）发现问题：
（1）如图①，小明在一张纸上画了一条线段PO，他把PO绕点O顺时针方向旋转60°得到线段OQ，连接PQ，通过查资料学习知道了△OPQ为等边三角形，然后他找到OP上一点H，把△OPQ沿QH折叠，发现两侧能完全重合，由此得到以下关系式：
PH OH；PQ QH．（填=，＞，＜）；
探究问题：
（2）如图②，在四边形ABCD中，连接AC，E为AD上一点，AC与BE互相平分，且交于点F，已知△ACD的面积为80，AD=10，求BE的最小值；
解决问题：
（3）如图③，某市文旅部门拟在黄河沿岸围建一个正方形的湿地公园ABCD，AB=13km,点E为AB上一个休息驿站，BE=3km,F为BC上任意一点，根据实际情况，计划设计一个等边△EFG的停车区域，A为入口，让车辆沿AG驶入到停车区，F为出口，若修建一定宽度的公路每公里10万元，请问修建AG路段的费用有无最小值？若有请求出；若没有请说明理由．
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共享时间:2024-04-25 难度:1 相似度:1.33

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193010. （2023•西安二十三中•九上二月）如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S_矩形AEFG：S_▱ABCD= ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
$德优题库$

共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.33

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195879. （2025•曲江一中•九上期末） $德优题库$
问题提出
（1）如图1，在菱形ABCD中，∠B=30°，AB=8，E是AB的中点，点F在AD上且AF=5，求五边形BCDFE的面积．
问题解决
（2）为了优化美化人居生态环境．如图2所示，某城市现规划建一个五边形公园，记为五边形ABCDE．按设计要求，要在公园内挖一个四边形人工湖记为四边形ONMP，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠C=150°，∠B=30°，AB=BC=800m,AE=700m,CD=600m,为了安全起见，AM＜AE，PD＜CD．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．是否存在符合设计要求的面积最小的四边形ONMP？若存在，求出面积最小值及这时AN的距离；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-13 难度:1 相似度:1.33

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196034. （2025•鄠邑区•九上期末）【提出问题】（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，点D不重合），求出四边形OECF的面积；
【问题解决】（2）如图2，一个菱形菜园ABCD，AC，BD为人行步道，且交于点O．要在菜园的下方建一四边形储藏间OECF，已知点E在BC上，点F在CD上，∠ABC＝∠EOF＝60°．若四边形储藏间OECF的占地面积为

（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园ABCD围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？

共享时间:2025-02-28 难度:1 相似度:1.33

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196210. （2024•师大附中•八下期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5．求∠APB的度数．

解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°到△BP′A的位置，连接PP′
则△BPP′是　　三角形．
∴PP′＝PB＝3
又∵PA＝4，P′A＝PC＝5
∴PP'²+PA²＝P'A²
∴△PP′A为直角三角形
∴∠APB的度数为　　．
（2）【类比延伸】如图2，在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形ABCDEF内部有一点P，若PA＝4，PB＝2，

，请直接写出∠APB的度数及正六边形的边长．

共享时间:2024-07-01 难度:1 相似度:1.33

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196410. （2024•高新一中•八上期末）【问题发现】
（1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边1饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？
小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线的对称点B′，连接AB′与直线交于C，点C就是所求位置．
$德优题库$
∵直线l是点B，B′的对称轴，
∴CB=CB'．
∴AC+CB=AC+CB'．
根据“ ”可得AC+CB的最小值是AB′．
【问题探究】
（2）如图3，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AB边上的一点，且AE=2，F是AD上的一个动点，求△BEF周长的最小值．
【问题解决】（3）如图4，在四边形ABDC中，∠A=∠B=90°，AB=60，AC=50，BD=110，点E是线段AB上的任一点，连接EC，以EC为直角边在AC下方作等腰直角三角形ECF，FE为斜边．CD边上存在一个点G，且点G到BD的距离等于20，连接FG，△CFG的周长是否存在最小值？若存在，请求出△CFG的周长最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-02-16 难度:1 相似度:1.33

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196385. （2024•高新一中•八下期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　　，BC与CE的位置关系是　　；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2