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6169. (2017•师大附中•模拟) (1)如图1,线段AB的长为4,请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AD=CD,∠ABC=120°,∠ADC=60°,AB=4,BC=2,请你求出四边形ABCD的面积.
问题解决:
(3)小明爸爸所在的工厂需要裁取某种四边形的材料板,这种材料板的形状如图3所示,并且满足在四边形ABCD中,AD=CD,∠ABC=75°,∠ADC=60°,DB=4,你能求出这种四边形面积的最小值吗?如果能,请求出此时四边形ABCD面积的最小值;如果不能,请说明理由.
德优题库
共享时间:2017-06-21 难度:5
[考点]
等腰直角三角形,四边形与面积问题,圆周角定理,辅助圆问题,定弦定角与面积最大问题,旋转的性质,费马点问题,
[答案]
答案详见解析
[解析]
解:(1)如图1,

画法:以AB为直径画圆O,当点C位于半圆的中点时,直角△ABC的面积最大;

(2)如图2,连接AC,过CCHAB,交AB的延长线于H

在Rt△BCH中,∵BC=2,∠CBH=180°﹣120°=60°,
∴∠BCH=30°,
BHBC=1,HC
AHAB+BH=4+1=5,
在Rt△ACH中,AC2AH2+CH2=52+(2=28,
SABCABCH×4×=2
ADCD,∠ADC=60°,
∴△ADC是等边三角形,
SADCAC2×28=7
S四边形ABCDSABC+SACD=2+7=9

(3)能,
如图3,连接AC

ADCD,∠ADC=60°,
∴△ADC是等边三角形,
将△BDC绕点D顺时针旋转60°得△HDA,连接BH
BDDH=4,∠HDB=60°,
∴△HDB是等边三角形,
S四边形ABCDSABD+SBCD
SBDHSABH
BD=4,是定值,
SBDH是定值,
∴当△ABH的面积最大时,四边形ABCD的面积最小,
∵∠ABC=75°,∠ADC=60°,
∴∠BAD+∠BCD=360°﹣75°﹣60°=225°,
∴∠BAH=360°﹣∠BAD﹣∠HAD=360°﹣225°=135°,
BHBD=4,
∴点A在定圆⊙O(△ABH的外接圆)上运动,当OAD共线时,△ABH的面积最大,此时,ODBH
OABHK,则HKKB=2,
AHAB
∴∠AHB=∠ABH=22.5°,
HK上取一点F,使FHAF,则△AKF是等腰直角三角形,
AKFKx,则AFFHx
∴2=x+x
x=2﹣2,
∴△ABH面积的最大值=×4×=4﹣4,
∴四边形ABCD的面积的最小值=×42﹣(4﹣4)=4﹣4+4.
 
[点评]
本题考查了"等腰直角三角形   圆周角定理   旋转的性质   定弦定角与面积最大问题   费马点问题   四边形与面积问题   辅助圆问题   ",属于"压轴题",熟悉知识点是解题的关键
原创声明:
本题解析属于发布者原创,非正常渠道不可私用,违者必究! !版权申诉
25275. (2023•高新一中•八下期中) 如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,ABBC=4,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,那么BM的长是        
德优题库
共享时间:2022-05-29 难度:2 相似度:1.29
211226. (2025•新城区•三模) 德优题库如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,以BC的中点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切于点D、E,交BC于点F(点F在点O右侧),连接DF并延长交AC的延长线于点G.
(1)求证:CF=CG;
(2)若AB=AC=10,求AG的长.
共享时间:2025-04-02 难度:2 相似度:1.29
212214. (2025•滨河中学•三模) 如图,⊙O的半径为4,AB是⊙O的直径,AC与⊙O相切,且AC=12,,连接CE并延长交AB于点D,交⊙O于点F,连接AEBFOE
(1)判断ACOE的位置关系,并说明理由;
(2)求的值.
共享时间:2025-04-14 难度:1 相似度:1.14
211479. (2025•蓝田县•一模) 德优题库如图,在△ABC中,∠A=45°,请利用尺规作图法在AB上求作一点D,使得AD=CD.(保留作图痕迹,不写作法)
共享时间:2025-03-07 难度:1 相似度:1.14
210628. (2025•师大附中•六模) 德优题库如图,以△ABC的边AC为直径作⊙O,与BC相切于点C,与AB交于点D,连接BO并延长分别交⊙O于E、F,连接CF,∠F=30°.
(1)求证:CB=CF;
(2)若BE=2,求AD的长.
共享时间:2025-05-30 难度:1 相似度:1.14
199020. (2023•交大附中•八下期中) 德优题库如图,在△ABC中,AB=AC,∠CAB=90°,BC=8.分别以点A,C为圆心,AC长为半径作弧,两弧交于点D(点D在AC的左侧),连接CD,AD,BD.求△ABD的面积.
共享时间:2023-05-25 难度:1 相似度:1.14
179713. (2024•铁一中学•八上期中) 德优题库如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E是△BDC内部一点,连接AE、CE、DE,若DB=5,DE=3,∠AED=45°,则CE的长是        
共享时间:2024-11-13 难度:1 相似度:1.14
197226. (2025•西安一中•八下期中) 德优题库如图,地面有个倒扣的簸箕,经测量,得知AB⊥BC,AB=30cm,∠BCA= 30°,∠CAD=40°,嘉嘉将簸箕按如图所示的方式旋转后扶起,最后平放在地面上.
(1)求CB'的长.
(2)①由图可知,旋转中心为点       
②求∠D'AB'的大小.
共享时间:2025-05-16 难度:1 相似度:1.14
185716. (2024•二十六中•八下期中) 德优题库如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE,点B的对应点D恰好落在边BC上.若DE⊥AC,∠CAD=25°,求∠BAD的度数.
共享时间:2024-05-20 难度:1 相似度:1.14
190512. (2025•碑林区•九上期末) 德优题库如图,在矩形ABCD中,点P在线段DC上,请利用无刻度的直尺和圆规画出点P,使得∠APB=90°.(不写作法,保留作图痕迹,画出一个点即可)
共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.14
190518. (2025•碑林区•九上期末) 德优题库如图,AB是⊙O的直径,直线m与⊙O相切于点C,延长AB,交直线m于点P,作AE⊥EP,垂足为E,AE交⊙O于点D,连接AC,BC.
(1)求证:AC平分∠BAD.
(2)若AB=20cm,BC=12cm,求DE的长.
共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.14
190592. (2025•交大附中•九上期末) 德优题库如图,AB是⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点,过点B作⊙O的切线交CO的延长线于点E,交⊙O于点F,连接BD,∠ABD=2∠CFD.
(1)求证:CE∥BD;
(2)连接DF交OB于点G,若OG:GB=2:3,EF=2,求⊙O的半径.
共享时间:2025-02-14 难度:1 相似度:1.14
196801. (2024•铁一中学•九上期末) 如图,△ABC中,以AB为直径的⊙OBC于点DDE是⊙O的切线,且DEAC,垂足是E,延长CA交⊙O于点F
(1)求证:ABAC
(2)连接DF,若CE=16,求AC的长.
共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:1.14
212422. (2025•交大附中•四模) 德优题库如图,AB是⊙O的直径,AC,CD是⊙O的弦,AB与CD交于点E,过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点F,连接AD,∠AED=∠EAD.
(1)求证:AD=DF;
(2)若AD=5,AF=8,求⊙O的半径长.
共享时间:2025-04-27 难度:1 相似度:1.14
212474. (2025•交大附中•六模) 德优题库如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,连接BD,过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点E,且∠E=90°,连接AC.
(1)求证:∠ACD=2∠A;
(2)若⊙O的半径为5,AC=8,求BD的长.
共享时间:2025-05-22 难度:1 相似度:1.14

sdfz512

2017-06-21

初中数学 | | 解答题

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2020*西工大*期末
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