问题探究如图已知正方形的边长为点和分别是边上两点且连接和交于点猜想与的位置关系并证明你的结论如图已知正方形的边长为点和分别从点同时出发以相同的速度沿方向向终点和运动连接和交于点求周长的最大值问题解决如图为边长为的菱形的对角线点和分别从点同时出发以相同的速度沿向终点和运动连接和交

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6495. （2017•西安市•模拟）问题探究
（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；
问题解决
（3）如图③，AC为边长为2

的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．

共享时间:2017-06-23 难度:5

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[考点]

互余关系，等边三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，互余模型，正方形的性质，四点共圆，旋转的性质，费马点问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）结论：AM⊥BN．
理由：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝90°，
∵BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN＝90°，
∴∠ABN+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AM⊥BN．

（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB＝90°，作EF⊥PA于F，作EG⊥PB于G，连接EP．

∵∠EFP＝∠FPG＝∠G＝90°，
∴四边形EFPG是矩形，
∴∠FEG＝∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝∠BEG，
∵EA＝EB，∠EFA＝∠G＝90°，
∴△AEF≌△BEG，
∴EF＝EG，AF＝BG，
∴四边形EFPG是正方形，
∴PA+PB＝PF+AF+PG﹣BG＝2PF＝2EF，
∵EF≤AE，
∴EF的最大值＝AE＝2

，
∴△APB周长的最大值＝4+4

．

（3）如图③中，延长DA到K，使得AK＝AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH＝PB．

∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠APN＝∠BAM+∠ABP＝∠CBN+∠ABN＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵∠AKB＝60°，
∴∠AKB+∠APB＝180°，
∴A、K、B、P四点共圆，
∴∠BPH＝∠KAB＝60°，
∵PH＝PB，
∴△PBH是等边三角形，
∴∠KBA＝∠HBP，BH＝BP，
∴∠KBH＝∠ABP，∵BK＝BA，
∴△KBH≌△ABP，
∴HK＝AP，
∴PA+PB＝KH+PH＝PK，
∴当PK的值最大时，△APB的周长最大，
∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，
∴△PAB的周长最大值＝2

+4．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性等边三角形的性质等腰直角三角形正方形的性质旋转的性质互余关系互余模型四点共圆费马点问题 "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
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共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.22

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4508. （2018•师大附中•模拟）如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC≌△DEC．
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共享时间:2018-06-04 难度:2 相似度:1.22

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2891. （2019•益新中学•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接BE，AF，求证：BE＝AF．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:1.22

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915. （2017•陕西省•真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．

共享时间:2017-07-10 难度:4 相似度:1.22

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838. （2014•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.11

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6239. （2017•铁一中学•模拟）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF，求证：DE＝CF．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.11

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1045. （2019•陕西省•真题）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．

共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.11

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806. （2015•陕西省•真题）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.11

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775. （2019•陕西省•副题）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．

共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.11

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6169. （2017•师大附中•模拟）（1）如图1，线段AB的长为4，请你作出一个以AB为斜边且面积最大的直角三角形ABC．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=4，BC=2，请你求出四边形ABCD的面积．
问题解决：
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共享时间:2017-06-21 难度:5 相似度:0.76

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:0.72

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6119. （2017•西工大附中•模拟）问题发现：
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问题探究：
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