问题探究如图所示已知直线为直线上两定点为直线上两动点与交于点请你写出图中任意一对面积相等的三角形如图所示菱形的对角线长分别为和是边上一点以作菱形求的面积问题解决王大爷家有一块的菱形菜地如图所示由于修建道路该菜地右下角一块将被占用现决定在下方补给一块土地补偿后菜地将调整为四边形要求补偿后的四边形的面积

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3120. （2019•陕西省•模拟）问题探究：
（1）如图1所示，已知直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，AD与BC交于点O，请你写出图中任意一对面积相等的三角形：　　．
（2）如图2所示，菱形ABCD的对角线AC、BD长分别为8和5，G是BC边上一点，以BG作菱形BEFG，求△ACF的面积．
问题解决：
（3）王大爷家有一块∠A＝60°的菱形菜地ABCD，如图3所示，由于修建道路该菜地右下角一块将被占用，现决定在AB下方补给一块土地，补偿后菜地将调整为四边形AMCD，要求补偿后的四边形AMCD的面积与原来菱形ABCD的面积相等且∠AMC＝60°请你在图3中通过画图来确定M点的位置，若AB＝4，求出CM的长．

共享时间:2019-06-03 难度:5

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[考点]

平行线的性质，三角形的面积，菱形的性质，平行四边形综合应用，四边形与面积问题，圆周角定理，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）∵m∥n，
∴直线m与n之间的距离处处相等，
∴C、D两点到AB的距离相等，
∴△ABC的面积＝△ABD的面积，
同理，△ACD的面积＝△BCD的面积，
∴△ACD的面积﹣△OCD的面积＝△BCD的面积﹣△OCD的面积，
即△AOC的面积＝△BOD的面积，
故答案为△ABC的面积＝△ABD的面积，或△ACD的面积＝△BCD的面积，或△AOC的面积＝△BOD的面积；
（2）如图2，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵四边形ABCD是菱形，四边形BEFG是菱形，
∴∠BAC＝

∠BAD，∠EBF＝

∠EBC，
∴∠BAC＝∠EBF，
∴AC∥BF，
∴S_△ACF＝S_△ABC＝

；
（3）以B为圆心，AB长为半径画圆B，过B作AC的平行线，与⊙B交于点M、N（M点在AB下方）连接MA、MC、CN，如图3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，AD∥BC，
∵∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝

∠ABC＝60°，
∵MN∥AC，
∴S_△AMC＝S_△ABC，
∴S_{四边形AMCD}＝S_菱形ABCD，
∴图中M点的位置符合要求，
∵MN∥AC，
∴

，
∴∠ABM＝∠CBN＝30°，
过C作CH⊥BN于H点，
∴CH＝

BC＝2，BH＝

BC＝2

，
∴HN═BN﹣BH＝4﹣2

，
∴

，
∵MN为⊙B的直径，
∴∠MCN＝90°，
∴CM＝

＝4

．

[点评]

本题考查了"平行线的性质三角形的面积菱形的性质圆周角定理平行四边形综合应用四边形与面积问题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

27855. （2023•爱知中学•九上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图法在AC边上作一点P，使得S_△ABC=4S_△ADP．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2024-01-30 难度:2 相似度:1.17

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23418. （2020•西工大附中•八上二月）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）△ABC的面积是．
（2）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁；
（3）请画出与△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂．
$德优题库$

共享时间:2021-01-09 难度:4 相似度:1.17

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429. （2016•陕西省•副题）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．
求证：BE＝CF．

共享时间:2016-07-15 难度:3 相似度:1

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2772. （2020•益新中学•模拟）问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB　　∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）；
问题探究
（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；
问题解决
（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．

共享时间:2020-06-26 难度:5 相似度:0.83

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6245. （2017•铁一中学•模拟）如图①，在 Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0＜α＜120°）得△DBE，连接AD，EC，直线AD、EC交于点M．
（1）当α＝30°时，∠BAD＝　　．
（2）在旋转的过程中，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若△ABC中，∠ABC＝120°，其余条件不变，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由．