问题提出如图在等腰中是边上一点以为腰作等腰连接则与的数量关系是位置关系是问题探究如图是半圆的直径是半圆上两点且若求的长问题解决如图是某公园的一个面积为的圆形广场示意图点为圆心公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域连接其中等边为球类运动区域为散步区域设

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21716. （2021•交大附中•七模）问题提出
（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是，位置关系是；
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问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC=BC，若BD=3，AD=9，求CD的长；
问题解决
（3）如图③是某公园的一个面积为36π m²的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC、AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，设AD的长为x，△BDC的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当点D为

的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．

共享时间:2021-07-25 难度:5

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[考点]

等边三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，四边形与面积问题，圆的综合题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝90°，∠A＝∠CBA＝45°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝∠BCE，
∵AC＝BC，DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：相等，垂直；
（2）过点C作CE⊥CD交AD于点E，如图：

∵AB是半圆O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∵CE⊥CD，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，△DCE是等腰直角三角形，
∵∠CAE＝∠CBD，AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝9﹣3＝6，
在等腰Rt△DCE中，CD＝

DE＝3

；
（3）①在DA上截取DE＝CD，连接CE，过点C作CF⊥AD于点F，过O作OH⊥AB于H，如图：

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°＝∠ADC，CE＝CD，
∵DE＝CD，
∴△CDE是等边三角形，
∵⊙O的面积为36π，
∴⊙O的半径为6，即OA＝6，
∵△ABC是等边三角形，OH⊥AB
∴AB＝2AH，∠AOH＝60°，
在Rt△AOH中，AH＝OA•sin∠AOH＝3

，
∴AB＝6

＝AC＝BC，
∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CE＝CD，AC＝BC，
∴∠ACE＝60°﹣∠ECB＝∠BCD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴S_△BCD＝S_△ACE，
设CD＝2a，则EF＝DF＝a，CF＝

a，
而AD＝x，
Rt△ACF中，AC²＝CF²+AF²，
∴（6

）²＝（

a）²+（x﹣a）²，
化简变形得：ax﹣2a²＝

x²﹣54，
∴S＝S_△ACE＝

•AE•CF
＝

（x﹣2a）•

a
＝

（ax﹣2a²）
＝

x²﹣27

；
②D为BC的中点时，如图：

∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠CAD＝

∠CAB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝DE＝

AD＝OD，
∴点E与点O重合，
∴S＝S_△ACE＝S_△AOC＝

S_△ABC，
∴S_{四边形ABDC}＝S+S_△ABC＝

S_△ABC＝

AB²＝36

．

[点评]

本题考查了"等边三角形的性质,等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质,勾股定理,四边形与面积问题,圆的综合题"，属于"压轴题"，熟悉考点是解题的关键。

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（1）探究线段BD、DF、FC之间的数量关系，并证明；
（2）若BD=3、CF=4，求AD的长．
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