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21716. (2021•交大附中•七模) 问题提出
(1)如图①,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,以CD为腰作等腰Rt△CDE,连接BE,则AD与BE的数量关系是        ,位置关系是        
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问题探究
(2)如图②,AB是半圆O的直径,C、D是半圆O上两点,且AC=BC,若BD=3,AD=9,求CD的长;
问题解决
(3)如图③是某公园的一个面积为36π m2的圆形广场示意图,点O为圆心,公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC,连接BC、AD,其中等边△ABC为球类运动区域,△BCD为散步区域,设AD的长为x,△BDC的面积为S.
①求S与x之间的函数关系式;
②按照设计要求,发现当点D为的中点时,布局设计最佳,求此时四边形运动区域ABDC的面积.
共享时间:2021-07-25 难度:5
[考点]
等边三角形的性质,等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质,勾股定理,四边形与面积问题,圆的综合题,
[答案]
答案详见解析
[解析]
解:(1)∵等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠ACB=90°,∠A=∠CBA=45°,
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠ACD=90°﹣∠DCB=∠BCE
ACBCDCEC
∴△ACD≌△BCESAS),
ADBE,∠CBE=∠A=45°,
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°,
ADBE
故答案为:相等,垂直;
(2)过点CCECDAD于点E,如图:

AB是半圆O的直径,
∴∠ABC=90°,
ABAC
∴∠ABC=45°,
∴∠ADC=45°,
CECD
∴∠ACE=90°﹣∠ECB=∠BCD,△DCE是等腰直角三角形,
∵∠CAE=∠CBDACBC
∴△ACE≌△BCDASA),
AEBD=3,
DEADAE=9﹣3=6,
在等腰Rt△DCE中,CDDE=3
(3)①在DA上截取DECD,连接CE,过点CCFAD于点F,过OOHABH,如图:

∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°=∠ADCCECD
DECD
∴△CDE是等边三角形,
∵⊙O的面积为36π,
∴⊙O的半径为6,即OA=6,
∵△ABC是等边三角形,OHAB
AB=2AH,∠AOH=60°,
在Rt△AOH中,AHOA•sin∠AOH=3
AB=6ACBC
∵△ABC、△CDE是等边三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,CECDACBC
∴∠ACE=60°﹣∠ECB=∠BCD
∴△BCD≌△ACESAS),
SBCDSACE
CD=2a,则EFDFaCFa
ADx
Rt△ACF中,AC2CF2+AF2
∴(62=(a2+(xa2
化简变形得:ax﹣2a2x2﹣54,
SSACEAECF
x﹣2a)•a
ax﹣2a2
x2﹣27
DBC的中点时,如图:

∵△CDE是等边三角形,
∴∠CDE=60°,
DBC的中点,
∴∠CADCAB=30°,
∴∠ACD=90°,
AD是⊙O的直径,
CDDEADOD
∴点E与点O重合,
SSACESAOCSABC
S四边形ABDCS+SABCSABC×AB2=36
 
[点评]
本题考查了"等边三角形的性质,等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质,勾股定理,四边形与面积问题,圆的综合题",属于"压轴题",熟悉考点是解题的关键。
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23398. (2020•铁一中学•八上二月) 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC上一动点,连接AD,过点A作AE⊥AD,并且始终保持AE=AD,连接CE,AF平分∠DAE交BC于F.
(1)探究线段BD、DF、FC之间的数量关系,并证明;
(2)若BD=3、CF=4,求AD的长.
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共享时间:2021-12-15 难度:4 相似度:1.5
197891. (2024•铁一中学•八上期中) 如图,四边形ABCD为湖滨中学一处绿地的规划图,其中,ABAD,∠BAD=∠ACD=90°,BEACE
(1)求证:BEAC
(2)若AB=13mCD=5m,求绿地四边形ABCD的面积.

共享时间:2024-11-17 难度:3 相似度:1.5
185693. (2024•交大附中•八下期中) 德优题库如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D是边BC上一点,E是边AC上一点,∠ADE=45°,BD=CE.求∠ADB的度数.
共享时间:2024-05-15 难度:2 相似度:1.33
185500. (2024•高新一中•七下期中) 德优题库Rt△ABC中,∠C=90°,过点A作AE⊥AC,且AE=AC,过点E作ED⊥AB分别交AB、AC于点F、D,若BC=3,AE=7,求CD的长.
共享时间:2024-05-16 难度:2 相似度:1.33
196477. (2024•爱知中学•八下期末) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,ACBC,请用尺规在AC边上找一点D,使得.(保留作图痕迹,不写作法)
共享时间:2024-07-24 难度:2 相似度:1.33
6039. (2017•铁一中学•模拟) 已知如图,点D在等边△ABC的边AB上,作DG∥BC,交AC于点G,点F在边AC上,连接DF并延长,交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.
德优题库
共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.33
185179. (2025•高新三中•七下期中) 德优题库△ACB为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点D为边AB上一点,以CD为边作等腰直角三角形DCE,且∠DCE=90°,连接BE,若AD=4,BD=10,求△BDE的面积.
共享时间:2025-05-11 难度:2 相似度:1.33
25703. (2023•陕西省•副题) 如图,在△ABC中,∠B=90°,作CD⊥AC,且使CD=AC,作DE⊥BC,交BC的延长线于点E.求证:CE=AB.
德优题库
共享时间:2023-07-21 难度:3 相似度:1.33
191792. (2024•远东二中•八下一月) 德优题库如图所示,A、C、B三点共线,△DAC与△EBC都是等边三角形,AE、BD相交于点P,且分别与CD、CE交于点M,N.
(1)求证:△ACE≌△DCB
(2)求∠APD的度数
共享时间:2024-04-29 难度:2 相似度:1.33
24660. (2018•师大附中•八上期末) 如图,△ABC中,ABBC,∠ABC=90°,FAB延长线上一点,点EBC上,且AECF
(1)求证:△ABE≌△CBF
(2)若∠CAE=25°,求∠ACF的度数.
共享时间:2019-03-02 难度:3 相似度:1.33
179582. (2024•爱知中学•八上期中) ABC中,若ABBCAC,则这个三角形是等边三角形,小红和小顺在学习了直角三角形的相关知识后,利用课余时间又研究了等边三角形,如图1,她们发现等边三角形的高,她们继续深入探究了以下问题:
在等边△ABC中,BD是等边△ABC的边AC上的高,P是射线DB上一动点,以AP为边向右侧作等边△APEAPE按逆时针排列).

(1)如图2,当点P在线段BD上时,连接CE,则BPCE的数量关系是       BCCE的位置关系是         
(2)若,求PD的长.
共享时间:2024-11-19 难度:2 相似度:1.33
24843. (2022•爱知中学•八下期中) 德优题库已知:如图,△ABC为等边三角形,AE=BD,AD,CE相交于点F.
(1)求证:AD=CE;
(2)求∠AFC的度数;
(3)若CP⊥AD于P,PF=7,EF=2,求CE的长.
共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.33
196753. (2024•铁一中学•七下期末) 德优题库在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=BE,AD⊥EC交EC延长线于点D.求证:CE=2AD.
共享时间:2024-07-24 难度:2 相似度:1.33
192415. (2023•西工大附中•八上一月) 德优题库如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,BE⊥AD于点E,CD⊥AD于点D,连接BD.若CD=7,DE=17,求AB.
共享时间:2023-10-22 难度:2 相似度:1.33
192822. (2024•西安三中•八下一月) (1)如图1,△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,求证:BD=CE;
(2)如图2,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE.
填空:∠AEB的度数为        ;线段BE与AD之间的数量关系是        
(3)拓展探究
如图3,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由.
德优题库
共享时间:2024-04-27 难度:2 相似度:1.33

dysx2021

2021-07-25

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