如图与相切于点求证直线与相切的延长线与相交于点若的半径为求的长

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6167. （2017•师大附中•模拟）如图，∠OPA＝

∠APB，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切．
（2）PO的延长线与⊙O相交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求CE的长．

共享时间:2017-06-21 难度:4

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相似

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[考点]

相似三角形的性质，切线定理，

[答案]

答案详见解析

[解析]

（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA，
∵∠OPA＝

∠APB，
∴点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD＝OC．
∴直线PB与⊙O相切；

（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．

∵OC＝3，PC＝4，
∴PO＝5，PE＝8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF＝∠E．
又∵∠CPF＝∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE＝PC：PE＝4：8＝1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF＝90°．
设CF＝x，则EC＝2x．
则x²+（2x）²＝6²，
解得x＝

，
∴CE＝

．

[点评]

本题考查了"切线定理相似三角形的性质 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

176114. （2024•西安八十九中•九上一月）如图，△ABC∽△CBD，若AB=6，BD=9，求BC的长．
$德优题库$

共享时间:2024-10-15 难度:1 相似度:1.5

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6218. （2016•西工大附中•真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB＝

，且sin∠CFD＝

，求⊙O的半径与线段AE的长．

共享时间:2017-02-28 难度:4 相似度:1.5

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198548. （2022•莲湖区•九上期中） $德优题库$ 如图所示，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积．

共享时间:2022-11-14 难度:1 相似度:1.5

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191991. （2023•陆港中学•九上二月） $德优题库$ 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）切线的性质：圆的切线过切点的半径（填汉字）；
（2）尺规作图：求作⊙O，使得⊙O经过B，D两点，并与边AC相切于点C．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2023-12-20 难度:5 相似度:1.5

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27920. （2023•汇知中学•九上期中） $德优题库$ 如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积．

共享时间:2023-11-21 难度:1 相似度:1.5

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175815. （2024•理工大附中•八上一月）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）AI
（1）观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）²，记为结论①：图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：　a²+2ab+b²　记为结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：　2ab+c²　记为结论③：
（2）思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式到一个等式　（a+b）²＝a²+2ab+b²　，结合结论②和结论③，可以得到一个等式　a²+b²＝c²　；
（3）应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4）三个半圆的面积分别记作S₁，S₂，S₃，且S₁+S₂+S₃＝20，求S₂的值．