如图点是等边的内心的两边分别交于点且若等边的边长为求四边形周长的最小值为培养学生劳动实践能力某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地如图所示劳动实践基地为点为其对称中心且点分别在边上四边形为学校划分给九年级的实践活动区域九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬即在种植不同的果蔬在点处安装喷灌装置且

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25783. （2024•高新一中•五模）（1）如图1，点O是等边△ABC的内心，∠DOE的两边分别交AB、BC于点D、E，且∠DOE=120°，若等边△ABC的边长为6，求四边形ODBE周长的最小值．
$德优题库$
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为▱ABCD，点O为其对称中心，且OB=20m,点E、F分别在边AB、BC上，四边形EBFO为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形EBFO区域种植两种不同的果蔬，即在△BEF、△EFO种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为60°，即∠EOF=60°，并修建OE、EF、OF三条小路．现要求规划的三条小路OE、EF、FO总长最小的同时，果蔬种植区域四边形EBFO的面积最大．求满足规划要求的三条小路OE、EF、FO总长的最小值，并计算同时满足四边形EBFO面积最大时学校应开辟的劳动实践基地▱ABCD的面积．

共享时间:2024-04-20 难度:5

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[考点]

等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，四边形综合题，

[答案]

（1）6+2；（2）OE、EF、FO和的最小值为20，平行四边形ABCD的面积=．

[解析]

解：（1）连接OB，OC，如图，
$菁优网$
∵点O是等边△ABC的内心，
∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO=30°，
∴OB=OC，∠BOC=120°
∵∠DOE=120°．，
∴∠BOD=∠COE，
在△BOD与△COE中，

，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD=CE，OD=OE，
∴四边形ODBE的周长=BD+BE+EO+OD=BC+2OE，
∵BC=6，
∴当OE⊥BC时，OE最小，四边形ODBE周长最小，此时OE＝

，
∴四边形ODBE的周长的最小值=6+2

；
（2）分别以AB、BC所在直线为对称轴，作点O关于AB的对称点为M，O关于BC的对称点为N，连接MN，交AB于点E₁，交BC于点F₁，连接BM、BN、EM、FN、OE₁、OF₁，如图，
$菁优网$
则ME=OE，OF=FN．
∵两点之间线段最短，
∴ME+EF+NF≥MN，
∵△OEF周长=OE+EF+OF=ME+EF+NF，
∴△OEF周长的最小值是MN，
∵O、M关于AB对称，O、N关于BC对称，
∴BM=BN=BO=20m,∠BMN=∠BOE₁，∠BNM=∠BOF₁，∠EME₁=∠EOE₁，∠FNF₁=∠FOF₁，
∴∠EOF=∠E₁OF₁=60°．
∴∠BMN+∠BNM=∠BOE₁+∠BOF₁=∠E₁OF₁=60°，
∴∠MBN=120°，
∴∠BMN=∠BNM=30°，
过点B作BH⊥MN，
$菁优网$ $菁优网$
∴BH=10，MH=NH=10

，
∴MN＝20

．
即OE、EF、FO和的最小值为20

，
此时S_{四边形形EBFO}=S_△BEM+S_△BFN=S_△BMN-S_△BEF，
∵S_△BMN的面积为100

，
∴当△BEF的面积最小时，四边形EBFO的面积最大，
在△BEF中，∠ABC=60°，MN上的高h=10（定角定高模型），
∴当BE=BF时，△BEF的面积最小，且最小值为

，
∴四边形EBFO的面积最大值=100

−

＝

，
∵当BE=BF，∠ABC=60°时，∠BEM=∠BFN=120°=∠BEO=∠BFO=120°，得四边形EBFO为平行四边形，
∴此时平行四边形ABCD的面积=4×四边形EBFO的面积=

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,直角三角形的性质,含30度角的直角三角形,全等三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,四边形综合题"，属于"综合题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

191790. （2024•远东二中•八下一月） $德优题库$ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°，CD是腰AB上的高，若AB=4，求CD的长度．

共享时间:2024-04-29 难度:3 相似度:1.38

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24844. （2022•爱知中学•八下期中）将图形中的三角形绕某一点作适当旋转，能够解决很多几何问题．
（1）如图1，直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上的一点，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接DF．若AD=2，BD=1，则CD= ；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是16，求AC的长；
（3）如图3，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，求四边形ABCD的面积．
$德优题库$

共享时间:2022-05-25 难度:4 相似度:1.38

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180147. （2024•长安区•八下二月） $德优题库$ 如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AC=12cm,求CM的长．

共享时间:2024-06-21 难度:3 相似度:1.38

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196133. （2024•师大附中•七下期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=9，BC=12，PA=3，求线段DE的长．

共享时间:2024-07-12 难度:2 相似度:1.25

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199162. （2022•滨河中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE=OF．求证：四边形AECF为平行四边形．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.25

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197272. （2025•西安三中•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别是垂足，求证：AE=AF．

共享时间:2025-05-18 难度:2 相似度:1.25

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196033. （2025•鄠邑区•九上期末） $德优题库$ 已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，点E，F分别在BD，DB的延长线上，且DE=BF，连接AE，AF，CF，CE．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AC平分∠EAF，∠AEC=60°，OA=4，求四边形AFCE的周长．

共享时间:2025-02-28 难度:2 相似度:1.25

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196965. （2024•西安航天中学•八上期末） $德优题库$ 如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF=AC；
（2）若CD=3，求AF的长．

共享时间:2024-02-25 难度:2 相似度:1.25

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181368. （2024•经开一中•八下一月） $德优题库$ 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别是垂足，求证：AE=AF．

共享时间:2024-04-18 难度:2 相似度:1.25

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181321. （2024•未央区•七下二月）小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，D是△ABC的边BC的中点，连接AD，则AD为边BC上的中线．他尝试延长AD到点E，使得DE=AD，连接BE，发现△BDE≌△CDA．
$德优题库$
请根据小雨的探究过程，解答下面的问题．
如图2，AD是△ABC的中线，E在AC上，连接BE，与AD交于点F，且AC=BF．试说明∠EAF=∠EFA．

共享时间:2024-06-18 难度:2 相似度:1.25

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196703. （2024•西工大附中•八上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=14，D为BC上一点，AD=AC，CD=6，求BD的长．

共享时间:2024-02-02 难度:2 相似度:1.25

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181035. （2024•西光中学•八下一月）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
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