如图在矩形中以为圆心为半径在矩形内画弧已知点是该弧上的一动点点是边上的动点则的最小值为随着社会发展人们生活品质日益提升年轻人对高品质生活的追求愈发强烈荒野求生生存大挑战等栏目在网络上火爆野外探险成为当下很多人想寻求刺激提升生活品质的热门选择图是一片探险区域其中四边形是探险途中的必经区域米米且

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212190. （2025•滨河中学•四模）（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以A为圆心，2为半径在矩形ABCD内画弧，已知点M是该弧上的一动点，点N是BC边上的动点，则MN+ND的最小值为　　．
（2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择．图②是一片探险区域，其中四边形ABCD是探险途中的必经区域，AB＝6000米，AD＝4800米，AD∥BC，∠B+∠C＝90°，且

．点A是探险入口，边界CD上点N是探险出口，其中CN＝AB，点D方圆1000米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入．为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点E，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报．一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点F和点M，其中点F在探险区域内，且满足∠EAF＝90°，AE＝2AF，点M在边界BC上，探险路线是A→F→M→N，请帮助领队计算FM+MN的最小值．

共享时间:2025-04-25 难度:3

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[考点]

直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解直角三角形的应用，

[答案]

（1）8；

（2）（400

﹣500）米．

[解析]

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠ADC＝90°，
作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，
则CD'＝CD＝4，

连接AM，ND'，AD'，
则AM+MN+ND＝AM+MN+ND'＞AD'，
∴MN+ND≥AD'﹣AM，
∵在Rt△ADD'中，AD＝6，DD'＝DC+CD'＝4+4＝8，
∴AD'＝

＝

＝10，
∴MN+ND≥AD'﹣AM＝10﹣2＝8，
∴MN+ND的最小值为8，
故答案为：8；
（2）连接DE，过点A作AG⊥AD，交BC于点G，在AG上取点O，使得AO＝

AD＝2400米，
∴∠OAD＝∠FAE＝90°，
∴∠OAD﹣∠FAD＝∠FAE﹣∠FAD，即∠OAF＝∠DAE，
∵AE＝2AF，AO＝

AD，
∴

＝

＝2，
∴△ADE∽△AOF，
∴

＝

＝2，
∴OF＝

DE＝

×1000＝500（米），
∴点F在以点O为圆心，半径为500米的圆上运动，
作点N关于BC的对称点N'，连接MN'，ON'，则MN＝MN'，
∴FO+FM+MN＝FO+FM+MN'≥ON'，
∴FM+MN≥ON'﹣FO，

连接NN'，交BC于点H，延长N'N，交AD的延长线于点K，过点O作OJ⊥NN'于点J，
∵AD∥BC，AG⊥AD，
∴AG∥BC，
∴在Rt△ABG中，AG＝AB•sinB＝6000×

＝4800（米），
BG＝

＝

＝3600（米），
∵点N与N'关于BC对称，
∴NN'⊥BC，
∵OJ⊥NN'，AG⊥AD，
∴四边形AOJK，四边形OGHJ，四边形AGHK都是矩形，
∴KH＝AG＝4800米，
∵在Rt△CNH中，∠C+∠CNH＝90°，又∠B+∠C＝90°，
∴∠CNH＝∠B，
∴sin∠CNH＝sinB＝

，
∴在Rt△CNH中，CH＝CN•sin∠CNH＝6000×

＝4800（米），
NH＝

＝

＝3600（米），
tanC＝

＝

，
∴KN＝KH﹣NH＝4800﹣3600＝1200（米），
∵AD∥BC，
∴∠KDN＝∠C，
∴tan∠KDN ＝tan∠C＝

，
在Rt△DKN中，DK＝

＝

＝1600（米），
∴AK＝AD+DK＝4800+1600＝6400（米），
∴在矩形AOJK中，OJ＝AK＝6400米，KJ＝AO＝2400米，
∵点N与N'关于BC对称，
∴N'H＝NH＝3600米，
∴JN'＝KN+NH+N'H﹣KJ＝1200+3600+3600﹣2400＝6000（米），
∴在Rt△OJN'中，ON'＝

＝

＝400

（米），
∴FM+MN≥ON'﹣FO＝400

﹣500，
即FM+MN的最小值为（400

﹣500）米．

[点评]

本题考查了"直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解直角三角形的应用，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

20858. （2020•高新一中•一模）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．
（参考数据：sin22°≈

，cos22°

，tan22

）

共享时间:2020-06-18 难度:4 相似度:1.33

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19058. （2015•交大附中•真题）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

共享时间:2016-06-21 难度:3 相似度:0.83

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6490. （2017•西安市•模拟）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE＝6米，塔高DE＝9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）

共享时间:2017-06-23 难度:3 相似度:0.83

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6064. （2014•铁一中学•真题）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．
（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
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共享时间:2017-05-28 难度:3 相似度:0.83

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2895. （2019•益新中学•模拟）如图，PB为⊙O的切线，B为切点．过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若

，且OC＝4，求PA的长．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:0.83

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2765. （2020•益新中学•模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．
求证：四边形BDCE是菱形．
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共享时间:2020-06-26 难度:3 相似度:0.83

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999. （2018•陕西省•真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．
（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
（2）连接MD，求证：MD=NB．

共享时间:2018-07-02 难度:4 相似度:0.83

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3143. （2018•滨河中学•真题）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，tanB＝

，求⊙O的半径．
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共享时间:2019-05-31 难度:3 相似度:0.66

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4759. （2017•高新一中•真题）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？
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共享时间:2018-06-27 难度:3 相似度:0.66

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807. （2015•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:0.66

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4537. （2018•交大附中•模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，CB⊥AB，AC交⊙O于点E，D是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC=4，AC=8，求CE的长．
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共享时间:2018-06-06 难度:4 相似度:0.66

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21711. （2021•交大附中•七模）小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆AB立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离为2m，升旗台的台阶所在的斜坡CD长为2m，坡角为30°，小明又测得旗杆在太阳光下的影子落在水平地面MN上的部分DE的长为6m，同一时刻，小亮测得长1.6m的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2m．请你帮小明和小亮求出旗杆AB的高度．（结果保留整数，参考数据：

≈1.732）
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共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:0.66

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20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．