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20175. （2021•第九中学曹溪•五模）如图，在四边形ABCD中，AD＝6，∠C＝60°，连接BD，BD⊥AB且BD＝CD，求四边形ABCD面积的最大值．小明过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H，连接DH，则∠AHD的正弦值为_________，据此可得四边形ABCD的面积最大值为_________．

共享时间:2021-06-03 难度:4

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[考点]

三角形的面积，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，四边形的面积最大值问题，解直角三角形，圆周角定理，定弦定角与面积最大问题，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：∵CH⊥AB，BD⊥AB，
∴HC∥BD，
∵∠BCD＝60°，BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°，
∵BD⊥AB，
∴∠HBC＝90°﹣∠CBD＝30°，
在Rt△BDH中，tan

，
在Rt△BCH中，cos∠HBC＝cos30°＝

，
∴sin

；
如图∵HC∥BD，

∴S_△BCD＝S_△BHD，
∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABD+S_△BCD＝S_△ABD+S_△BHD＝S_△ADH＝

•（AD边上的高），
求S_{四边形ABCD}最大值，即求S_△ADH面积最大，AD为定值，则当AD边上高最长时即为所求，
∵tan

，AD＝6，
∴可作△ADH的外接圆⊙O，过点O作OE⊥AD，连接AO，DO，设半径为R，延长EO交⊙O于点H′，
∵∠AOD与∠AHD是同弧所对的圆心角、圆周角，
∴∠AOD＝2∠AHD，
∵OE⊥AD，AD＝6，
∴∠AOE＝

，AE＝

，
∴tan∠AOE＝tan∠AHD＝

＝

，
∴OE＝

，
∴R＝OA＝

，
当H′与H重合时，S_△ADH最大，
∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABD+S_△BCD＝S_△ABD+S_△BHD＝S_△ADH＝

＝

＝

．
故答案为：

．

[点评]

本题考查了"三角形的面积,等边三角形的性质,相似三角形的判定与性质,四边形的面积最大值问题,解直角三角形,圆周角定理,定弦定角与面积最大问题",属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

883. （2013•陕西省•真题）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为　　．（结果保留根号）

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.14

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25148. （2022•高新一中•八下期中）如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若∠AEB=100°，则∠AFB的度数为．
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共享时间:2022-05-12 难度:2 相似度:1.14

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24832. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 如图，AD是等边△ABC的中线，点E是AB上的点，且AE=AD，则∠EDB= ．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.14

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461. （2017•陕西省•副题）如图．在Rt△ABC中，AC＝3，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，则图中阴影部分的面积为　　

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:0.96

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6208. （2015•西工大附中•真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y＝

（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于　　．

共享时间:2017-02-28 难度:3 相似度:0.79

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6509. （2016•高新一中•真题）如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是　　．

共享时间:2017-06-20 难度:4 相似度:0.69

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3109. （2019•滨河中学•模拟）如图，在△ABC中，AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是　　cm．

共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:0.69

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849. （2014•陕西省•真题）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是　．

共享时间:2014-09-18 难度:4 相似度:0.64

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885. （2013•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为　　．

共享时间:2013-11-18 难度:4 相似度:0.64

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420. （2016•陕西省•副题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝1，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为　．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:0.64

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3108. （2019•滨河中学•模拟）如图，双曲线y＝

经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足

＝

，与BC交于点D，S_△BOD＝24，则k＝　　．

共享时间:2019-06-03 难度:3 相似度:0.64

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347. （2012•红星高中•真题）如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为　　．

共享时间:2020-07-03 难度:4 相似度:0.64

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4751. （2018•高新一中•模拟）如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，BC=6，AD=3，将三角形ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形A′B′C′，连接A′C，则三角形A′B′C的面积为为　　．
$德优题库$

共享时间:2018-06-27 难度:2 相似度:0.64

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6058. （2017•铁一中学•模拟）已知点D为∠ABC的一边BC上一定点，且BD＝5，线段PQ在∠ABC另一边AB上移动且PQ＝2

，若sin∠B＝

，则当∠PDQ达到最大值时PD的长为　　．

共享时间:2017-05-28 难度:4 相似度:0.64

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23276. （2021•师大附中•九上期中）如图，在▱ABCD中，点E为边CD的中点，点F为边AD上靠近A的三等分点，连接BE、CF相交于点O，若△COE的面积为1，则▱ABCD的面积为．
$德优题库$

共享时间:2021-11-26 难度:4 相似度:0.64

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