如图抛物线与轴交于点和点与轴交于点点为坐标原点分别为的中点过三点的抛物线记为求抛物线的表达式并判断抛物线是否可以由抛物线平移得到点为抛物线上任意一点连接取线段的中点求证点在抛物线上

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20155. （2021•西工大附中•四模）如图，抛物线C₁：y＝x²﹣2x﹣8与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点O为坐标原点，D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，过D、E、F三点的抛物线记为C₂．
（1）求抛物线C₂的表达式，并判断抛物线C₂是否可以由抛物线C₁平移得到？
（2）点P为抛物线C₁上任意一点，连接OP，取线段OP的中点Q．求证：点Q在抛物线C₂上．

共享时间:2021-05-31 难度:4

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[考点]

求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数与平移问题，

[答案]

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[解析]

解：（1）对于y＝x²﹣2x﹣8，令y＝x²﹣2x﹣8＝0，解得x＝4或﹣2，令x＝0，则y＝﹣8，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，﹣8），
∵D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，
则其坐标分别为（﹣1，0）、（2，0）、（0，﹣4），
设C₂的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将点F的坐标代入上式并解得a＝2，
故C₂的表达式为y＝2x²﹣2x﹣4；

（2）设点P的坐标为（m，m²﹣2m﹣8），
∵点Q是OP的中点，故点Q的坐标为（

m，

m²﹣m﹣4），
当x＝

m时，y＝2x²﹣2x﹣4＝

m²﹣m﹣4，
故点Q在抛物线C₂上．

[点评]

本题考查了"求二次函数的解析式,二次函数图像上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换,二次函数与平移问题",属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

60. （2013•泉州市•真题）已知抛物线y＝a（x﹣3）²+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y₁）、B（n，y₂）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y₁与y₂的大小．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.25

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6344. （2017•师大附中•模拟）如图，直线AB与抛物线l：y=-x²+bx+c分别交于A（0，5），B（5，0）两点，这条抛物线的顶点为C，对称轴与直线AB交于点D．
（1）求抛物线l的函数表达式，并直接写出点C、D的坐标．
（2）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点记为C′，对称轴与x轴的交点记为E，如果以C、D、C′、E为顶点的四边形是菱形，那么应将抛物线l怎样平移？为什么？
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共享时间:2017-06-08 难度:4 相似度:1.18

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4763. （2018•高新一中•模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x²+（3﹣m）x经过点A（﹣2，0）．
（1）将抛物线C沿直线y＝1轴对称的抛物线记为C₁，求抛物线C₁的顶点坐标；
（2）将抛物线C沿直线y＝n轴对称的抛物线记为C₂，设C与C₂的交点记为点M，点N，C的顶点记为F，C₂的顶点记为E，若四边形MFNE中有一个内角等于60°，求C₂的解析式．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.17

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25710. （2023•陕西省•副题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB=BN=NC=CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；
方案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′=B′C′=C′M，点A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
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共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:1.17

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6219. （2017•西工大附中•一模）如图，抛物线W：y=-x²+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点记为D．
（1）求抛物线W的函数表达式及顶点D的坐标．
（2）连接AC，若线段AC上有一点P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长的最大值．
（3）在（2）中，当PQ的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为W′，抛物线W′的顶点记为D′，它的对称轴与x轴交于点E′．怎样平移才能使得以P、Q、D′、E′为顶点的四边形是菱形？
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共享时间:2017-02-28 难度:4 相似度:1.13

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6244. （2017•铁一中学•模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知：抛物线y＝ax²+bx+3经过点P（1，4）和点Q（2，﹣3）．
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况．
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形．请你写出平移过程，并说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:4 相似度:0.9

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24638. （2022•陕西省•真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

共享时间:2022-06-21 难度:4 相似度:0.9

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19854. （2021•陕西省•真题）已知抛物线y＝﹣x²+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-25 难度:4 相似度:0.9

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21439. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:0.83

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:0.83

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22986. （2021•铁一中学•九上期中） $德优题库$ 已知二次函数y=ax²+bx-3a经过点A（-1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接AC、CD、DB，求S_{四边形ACDB}；
（3）在该抛物线上是否存在点P，使得S_△ABP=S_{四边形ACDB}？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-11-15 难度:4 相似度:0.83

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1000. （2018•陕西省•真题）已知抛物线L：y=x²+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

共享时间:2018-07-02 难度:4 相似度:0.75

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21111. （2021•陕西省•九模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y=

x²+bx+c与x轴交于A（-4，0）、B两点，且过点C（0，-2）．抛物线W₂与抛物线W₁关于原点对称，点C在W₂上的对应点为C′．
（1）求抛物线W₁的表达式；
（2）写出抛物线W₂的表达式；
（3）若点P在抛物线W₁上，试探究：在抛物线W₂上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:0.75

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70. （2019•榆林市•期末）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．
（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．
（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:0.75

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920. （2017•陕西省•真题）在同一直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²﹣2x﹣3与抛物线C₂：y=x²+mx+n关于y轴对称，C₂与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C₁，C₂的函数表达式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）在抛物线C₁上是否存在一点P，在抛物线C₂上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-10 难度:4 相似度:0.58

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dcyx2021

2021-05-31

初中数学 | | 解答题

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2021年陕西省西安市西工大附中中考数学四模试卷

更新:2021-05-31 06:47浏览量:1002

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