已知抛物线与轴交于点点在点的左侧与轴交于点求点的坐标设点与点关于该抛物线的对称轴对称在轴上是否存在点使与相似且与是对应边若存在求出点的坐标若不存在请说明理由

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19854. （2021•陕西省•真题）已知抛物线y＝﹣x²+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-25 难度:4

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[考点]

二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的动点问题，二次函数的应用题，

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[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）令y＝0，则-x²+2x+8=0,
∴x₁=-2, x₂=4………………………………………………………………………（2分）
∴B（4，0）.………………………………………………………………………………（3分）
令x＝0，则y＝8.
∴C（0，8）.
（2）存在.由已知得，该抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵点C′与点C关于直线x＝1对称，
∴C′（2，8），CC′=2，
∴CC′∥OB.
∵点P在y轴上，
∴∠P CC′＝∠POB=90°
当

\frac{P C}{P O}

\frac{C C^{ι}}{O B}

时，△PCC′∽△POB.………………………………（4分）
设P（0，y），
i）当y＞8时，则

\frac{y - 8}{y}

\frac{2}{4}

∴y=16
∴P（0，16）.…………………………………………………………………（6分）
ii）当0＜y＜8时，则

\frac{y - 8}{y}

\frac{2}{4}

∴y=

\frac{16}{3}

∴P(0，

\frac{16}{3}

)………………………………………………………（7分）
ii）当y＜0时，则CP＞OP，与

\frac{P C}{P O}

\frac{1}{2}

矛盾.
∴点P不存在.
∴ P(0，

\frac{16}{3}

)或P（0，16）………………………………………………………（8分)

[点评]

本题考查了"二次函数的性质,二次函数图像上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换,二次函数的动点问题,二次函数的应用题"，属于"综合题"，熟悉题型做法是解题的关键。

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

4763. （2018•高新一中•模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x²+（3﹣m）x经过点A（﹣2，0）．
（1）将抛物线C沿直线y＝1轴对称的抛物线记为C₁，求抛物线C₁的顶点坐标；
（2）将抛物线C沿直线y＝n轴对称的抛物线记为C₂，设C与C₂的交点记为点M，点N，C的顶点记为F，C₂的顶点记为E，若四边形MFNE中有一个内角等于60°，求C₂的解析式．
$德优题库$

共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.6

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21439. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.47

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275232. （2024•西安三中•六模）计算：（

）^﹣2﹣6sin30°﹣|

﹣1|

共享时间:2024-05-17 难度:2 相似度:1.4

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70. （2019•榆林市•期末）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．
（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．
（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.4

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286733. （2021•滨河中学•九模） $德优题库$ 已知二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与y轴相交于点A，y与x的部分对应值如表（m为整数）：

x	0	m	2
y	-3	-4	-3

（1）若直线x=m是对称轴，直接写出m的值和点A的坐标．
（2）在给出的坐标系中画出该函数图象的草图．
（3）过点A作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线y=n与新图象有两个公共点，则n的取值范围．

共享时间:2021-06-17 难度:2 相似度:1.4

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.35

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21111. （2021•陕西省•九模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y=

x²+bx+c与x轴交于A（-4，0）、B两点，且过点C（0，-2）．抛物线W₂与抛物线W₁关于原点对称，点C在W₂上的对应点为C′．
（1）求抛物线W₁的表达式；
（2）写出抛物线W₂的表达式；
（3）若点P在抛物线W₁上，试探究：在抛物线W₂上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:1.3

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274045. （2024•师大附中•九模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
$德优题库$
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB．

共享时间:2024-06-16 难度:1 相似度:1.2

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279460. （2024•高新一中•三模）掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为

．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．

共享时间:2024-04-01 难度:1 相似度:1.2

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212371. （2025•西安三中•二模） $德优题库$ 从以动画技术革新领跑电影票房的《哪吒2》，到“神农”“天问”等楚才系列人形机器人集中亮相，现象级的科技飞跃成为今年春节的热门符号．某科技公司乘“巳”而上，在科技创新的驱动下，测试一款新研发的植护无人机喷洒农药，如图①，其喷洒轨迹可近似地看作抛物线型．如图②，已知无人机喷头A到水平地面（BC）的高度为3m,喷洒的农药覆盖农作物的宽度（BC）为4m,以线段BC所在直线为x轴，垂直于BC，且过线段BC的中点O与喷头A的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）求喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式；
（2）为提升效率，保证喷洒农药的均匀程度，要求植护无人机喷洒农药覆盖农作物的宽度要达到6m,那么测试人员应该如何操作植护无人机（上下移动）才能达到要求？

共享时间:2025-03-20 难度:1 相似度:1.2

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212423. （2025•交大附中•四模） $德优题库$ 某小区有一个喷水池，中心处带有可升降喷头的喷水管垂直于地面，喷出的水流形状近似抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心点O为原点，水平方向为x轴，喷水管竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系．经测量，喷头位置在水池中心点O的正上方2.25m处，当水流满足距喷水管的水平距离为1m时，达到最大高度为3m.
（1）求第一象限内水流形状所近似抛物线的函数表达式，并求喷出的水流到喷水管的最大水平距离；
（2）为了美化小区，对喷水装置进行改造，将喷出水流的最高点水平外移1m,高度不变，且使喷出的水流到喷水管的最大水平距离为5m,请确定此时喷头的竖直高度．

共享时间:2025-04-27 难度:1 相似度:1.2

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275764. （2024•滨河中学•二模）【发现问题】：小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为0.4m的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．
【提出问题】：小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？
【分析问题】：小强以斜坡底端O为坐标原点，地面水平线为x轴，取单位长度为1m,建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点A的坐标为（-1，3.36），第一次弹起的运行路线最高点坐标为（-0.5，3.61），第二次弹起的最大高度为1.21m.小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜．
【解决问题】：
（1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
（2）小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内，才能确保自己获胜？
$德优题库$

共享时间:2024-03-29 难度:1 相似度:1.2

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212397. （2025•交大附中•一模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞L₁，L₂，L₃均呈抛物线型且抛物线形状相同，如图所示，以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
已知：桥洞L₁的最大高度OC为8米，跨度AB=32米，桥洞L₂，L₃关于y轴对称，且最大高度均为4米．
（1）求桥洞L₁所在抛物线的函数表达式；
（2）如图所示，现需要在桥洞L₂，L₃上安装两盏靠近y轴的照明灯Q，P，且照明灯的高度都是2米，请计算照明灯的水平距离PQ的长度．
$德优题库$

共享时间:2025-03-13 难度:1 相似度:1.2

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211722. （2025•碑林区•八模） $德优题库$ 某乡间民宿的院子里安装了一个喷泉装置，喷泉底座安装在点O处，喷泉的出水口为点B，且OB=2m.如图，这是喷泉喷水时的截面示意图，根据实际情况调整喷泉落地点A，使点A到底座O的距离为4m.以过点O并垂直于地面的直线为y轴，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy,喷泉在y轴两侧的水流最高点C与C'之间的距离为3m,喷泉水流近似抛物线．
（1）求点C所在抛物线的函数表达式．
（2）现打算在喷泉内侧增加圆形花架作为点缀，花架的直径为1m,花架的中心在喷泉所在的抛物线的对称轴上．为了不影响美观，喷泉与花架上边缘的距离至少保持0.5m,则花架的最大高度为多少？

共享时间:2025-06-11 难度:1 相似度:1.2

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212549. （2025•西安八十五中•三模）如图是一块铁皮材料的示意图，由抛物线MPN和矩形MEFN构成．矩形的长MN是8dm,宽ME是2dm,抛物线的顶点P在MN的垂直平分线上，且到MN的距离为4dm.以MN中点O为原点，MN、OP分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．现要在该铁皮材料中截取矩形，小华设计了两种方案：
方案一：如图1，矩形ABCD的面积记为S₁，点A、D在抛物线上，点B、C在EF上，AD=4dm；
方案二：如图2，矩形A′B′C′D′的面积记为S₂，点A′、D′在抛物线上，点B′、C′在EF上，A′B′=4dm.请你根据以上信息，解答下列问题：
$德优题库$
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）分别求出S₁、S₂，并比较S₁、S₂的大小．

共享时间:2025-04-08 难度:1 相似度:1.2

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竹黎

2021-06-25

初中数学 | | 解答题

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2021年陕西省中考数学试卷

更新:2021-06-25 06:46浏览量:2463

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