已知抛物线与轴交于点点在点的左侧与轴交于点求点的坐标设点与点关于该抛物线的对称轴对称在轴上是否存在点使与相似且与是对应边若存在求出点的坐标若不存在请说明理由

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19854. （2021•陕西省•真题）已知抛物线y＝﹣x²+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-25 难度:4

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[考点]

二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的动点问题，二次函数的应用题，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）令y＝0，则-x²+2x+8=0,
∴x₁=-2, x₂=4………………………………………………………………………（2分）
∴B（4，0）.………………………………………………………………………………（3分）
令x＝0，则y＝8.
∴C（0，8）.
（2）存在.由已知得，该抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵点C′与点C关于直线x＝1对称，
∴C′（2，8），CC′=2，
∴CC′∥OB.
∵点P在y轴上，
∴∠P CC′＝∠POB=90°
当

\frac{P C}{P O}

\frac{C C^{ι}}{O B}

时，△PCC′∽△POB.………………………………（4分）
设P（0，y），
i）当y＞8时，则

\frac{y - 8}{y}

\frac{2}{4}

∴y=16
∴P（0，16）.…………………………………………………………………（6分）
ii）当0＜y＜8时，则

\frac{y - 8}{y}

\frac{2}{4}

∴y=

\frac{16}{3}

∴P(0，

\frac{16}{3}

)………………………………………………………（7分）
ii）当y＜0时，则CP＞OP，与

\frac{P C}{P O}

\frac{1}{2}

矛盾.
∴点P不存在.
∴ P(0，

\frac{16}{3}

)或P（0，16）………………………………………………………（8分)

[点评]

本题考查了"二次函数的性质,二次函数图像上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换,二次函数的动点问题,二次函数的应用题"，属于"综合题"，熟悉题型做法是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

4763. （2018•高新一中•模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x²+（3﹣m）x经过点A（﹣2，0）．
（1）将抛物线C沿直线y＝1轴对称的抛物线记为C₁，求抛物线C₁的顶点坐标；
（2）将抛物线C沿直线y＝n轴对称的抛物线记为C₂，设C与C₂的交点记为点M，点N，C的顶点记为F，C₂的顶点记为E，若四边形MFNE中有一个内角等于60°，求C₂的解析式．
$德优题库$

共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.6

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21439. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.47

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70. （2019•榆林市•期末）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．
（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．
（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.4

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190140. （2025•莲湖区•九上期末）已知二次函数y=ax²-4x的图象经过点（-1，6）．
（1）求a的值和该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，求新抛物线与y轴的交点坐标．

共享时间:2025-02-27 难度:2 相似度:1.4

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.35

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21111. （2021•陕西省•九模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y=

x²+bx+c与x轴交于A（-4，0）、B两点，且过点C（0，-2）．抛物线W₂与抛物线W₁关于原点对称，点C在W₂上的对应点为C′．
（1）求抛物线W₁的表达式；
（2）写出抛物线W₂的表达式；
（3）若点P在抛物线W₁上，试探究：在抛物线W₂上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:1.3

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210603. （2025•师大附中•七模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点B为棚顶外沿，MN为斜拉杆．棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO（可上下调节）的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a（x-8）²+k,其图象如图2所示，且点B（7，3.26）和点N（6，3.2）在图象上．
$德优题库$
（1）求棚顶的横截面所在抛物线的表达式；
（2）某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长CD=5.5m,高DE=2.8m的矩形，若要使校车能完全倒入车棚内，且保证车顶与顶棚的竖直距离至少为0.5m,通过计算请你判断一下校车是否能完全停到车棚内，如果停不进去，需要将顶棚沿支柱AO（支柱可加长）向上至少提升多少？

共享时间:2025-06-09 难度:1 相似度:1.2

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196656. （2024•西工大附中•九上期末）根据某市最新中考体育实心球项目得分规则，女生掷6.7米可得满分．现有一名女生小慧掷实心球，其实心球运行的路线如图所示是抛物线的一部分．当水平距离x为2米时，实心球的行进高度y达到最高2米．已知掷出实心球的初始高度OB是1.6米．请问小慧能得满分吗？请说明理由．（参考数据：

）

共享时间:2024-02-18 难度:1 相似度:1.2

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197058. （2023•高新一中•九上期末） $德优题库$ 这条经过A、N、C三点的抛物线是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的路径图．其中A点离地面1.4米，N点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是足球第一次落地的地点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为多少米？

共享时间:2023-02-26 难度:1 相似度:1.2

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197597. （2024•高新一中•九上期中）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）²+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a＝﹣

时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为

m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

共享时间:2024-11-27 难度:1 相似度:1.2

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197939. （2024•滨河中学•九上期中）如图二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过点B，D．
（1）求二次函数的解析式，对称轴；
（2）连结AD，在抛物线上找一点P使得

，求点P的坐标．

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:1.2

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197942. （2024•滨河中学•九上期中）如图二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过点B，D．
（1）求二次函数的解析式，对称轴；
（2）连结AD，在抛物线上找一点P使得

，求点P的坐标．

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:1.2

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198893. （2022•滨河中学•九上期中）已知二次函数y=-2x²+bx+c的图象经过A（0，4）和B（1，-2）．求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴和顶点坐标．

共享时间:2022-11-28 难度:1 相似度:1.2

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190159. （2025•蓝田县•九上期末）若二次函数y=ax²+bx+1（a≠0）的图象经过A（1，0）、B（2，1）两点，求该二次函数的表达式．

共享时间:2025-02-01 难度:5 相似度:1.2

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195955. （2025•临潼区•九上期末） $德优题库$ 第十五届中国国际航空航天博览会在珠海举行，作为一名航迷的王兴同学关注到参展的某型号飞机在飞行表演过程中，先冲向高空，到达预定高度后，便开始向下俯冲，最终落回地面，整个飞行的轨迹可近似的看作一条如图所示的抛物线，设起飞的一瞬间为坐标原点，飞行高度y（米）与水平距离x（米）满足二次函数关系．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）飞机着陆时，距离起飞一瞬间的水平距离是多少？

共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.2

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竹黎

2021-06-25

初中数学 | | 解答题

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2021年陕西省中考数学试卷

更新:2021-06-25 06:46浏览量:2362

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