如图在平面直角坐标系中抛物线与轴交于两点且过点抛物线与抛物线关于原点对称点在上的对应点为求抛物线的表达式写出抛物线的表达式若点在抛物线上试探究在抛物线上是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形并且其面积等于若存在求点的坐标若不存在请说明理由

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21111. （2021•陕西省•九模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y=

x²+bx+c与x轴交于A（-4，0）、B两点，且过点C（0，-2）．抛物线W₂与抛物线W₁关于原点对称，点C在W₂上的对应点为C′．
（1）求抛物线W₁的表达式；
（2）写出抛物线W₂的表达式；
（3）若点P在抛物线W₁上，试探究：在抛物线W₂上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-08-10 难度:4

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[考点]

求二次函数的解析式，二次函数的图像，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的动点问题，二次函数的应用题，平行四边形的面积，动点平行四边形，

[答案]

（1）y=x

+x-2；（2）y=-x²+x+2；（3）Q₁ （-6，10），Q₂ （6，-4）．

[解析]

解（1）由题意得：

，∴b＝

，
∴y＝

﹣2；
（2）∵抛物线w₁：y＝

x﹣2＝

（x+1）²﹣

的顶点是（﹣1，﹣

），
∴w₂ 的顶点是（1，

），
∴w₂ 的解析式是：y＝﹣

（x﹣1）²+

＝﹣

x²+

x+2；
（3）若CC′是对角线，
∴W₁和W₂关于原点对称，
∴P、Q也关于原点对称，
∵CC′•h＝24，
∴4•h＝24，
∴h＝6，
即P点横坐标是6或﹣6，
当x＝6时，y＝

×6²+

×6﹣2＝10，
∴Q（﹣6，10），
当x＝﹣6时，y＝

×（﹣6）²﹣

×6﹣2＝4，
∴Q（6，﹣4），
当CC′是边时，PQ∥CC′，PQ＝CC′，
设点Q（x，﹣

x²+

x+2），P（x，

﹣2），
由①知：x＝6或﹣6，
当P（6，10）时，
∵y＝﹣

×6²+

×6+2＝﹣4，
∴Q（6，﹣4），
∴PQ＝14≠4，
当x＝﹣6时，y＝﹣

×（﹣6）²+

×（﹣6）+2＝﹣10，
∴PQ＝14，
∴PQ≠CC′，
∴CC′不能为边，
综上所述，当C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24时，点Q的坐标是（﹣6，10）或（6，﹣4）．

[点评]

本题考查了"求二次函数的解析式,二次函数的图像,二次函数的性质,二次函数图像上点的坐标特征,二次函数的动点问题,二次函数的应用题,平行四边形的面积,动点平行四边形"，属于"压轴题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21439. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.46

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25710. （2023•陕西省•副题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度OM=12米，顶点P到底部OM的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点M在x轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架（由线段AB，PN，DC构成），点B，N，C在OM上，且OB=BN=NC=CM，点A，D在抛物线上，AB，PN，DC均垂直于OM；
方案二是“H”形内部支架（由线段A′B′，D′C′，EF构成），点B′，C′在OM上，且OB′=B′C′=C′M，点A′，D′在抛物线上，A′B′，D′C′均垂直于OM，E，F分别是A′B′，D′C′的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2023-07-21 难度:2 相似度:1.38

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19854. （2021•陕西省•真题）已知抛物线y＝﹣x²+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-25 难度:4 相似度:1.3

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24638. （2022•陕西省•真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

共享时间:2022-06-21 难度:4 相似度:1.3

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.17

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23921. （2022•高新一中•二模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB交于点A（-1，4），点B（3，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以B、O、M、N为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求点M的坐标．
$德优题库$

共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.17

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196184. （2024•师大附中•九上期末）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m,BC=4m,取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，直线OE为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．如图1，已知抛物线AED的顶点为E（0，4），请回答下列问题：
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图2，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个大小一样的正方形孔的排气装置LFGT，SMNR （F，G，M，N在线段AD上，L，R在抛物线上），若要保证两个正方形装置的间距GM=2m,求正方形排气装置的边长RN的长．（结果保留根号）
$德优题库$

共享时间:2024-02-02 难度:1 相似度:1.13

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196656. （2024•西工大附中•九上期末）根据某市最新中考体育实心球项目得分规则，女生掷6.7米可得满分．现有一名女生小慧掷实心球，其实心球运行的路线如图所示是抛物线的一部分．当水平距离x为2米时，实心球的行进高度y达到最高2米．已知掷出实心球的初始高度OB是1.6米．请问小慧能得满分吗？请说明理由．（参考数据：

）

共享时间:2024-02-18 难度:1 相似度:1.13

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197058. （2023•高新一中•九上期末） $德优题库$ 这条经过A、N、C三点的抛物线是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的路径图．其中A点离地面1.4米，N点是足球运动过程中的最高点，离地面3.2米，离守门员的水平距离为6米，点C是足球第一次落地的地点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为多少米？

共享时间:2023-02-26 难度:1 相似度:1.13

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197597. （2024•高新一中•九上期中）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x﹣4）²+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a＝﹣

时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为

m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．

共享时间:2024-11-27 难度:1 相似度:1.13

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197939. （2024•滨河中学•九上期中）如图二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过点B，D．
（1）求二次函数的解析式，对称轴；
（2）连结AD，在抛物线上找一点P使得

，求点P的坐标．

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:1.13

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197942. （2024•滨河中学•九上期中）如图二次函数y＝﹣x²+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过点B，D．
（1）求二次函数的解析式，对称轴；
（2）连结AD，在抛物线上找一点P使得

，求点P的坐标．

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:1.13

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.13

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198893. （2022•滨河中学•九上期中）已知二次函数y=-2x²+bx+c的图象经过A（0，4）和B（1，-2）．求该抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴和顶点坐标．

共享时间:2022-11-28 难度:1 相似度:1.13

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210603. （2025•师大附中•七模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点B为棚顶外沿，MN为斜拉杆．棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO（可上下调节）的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a（x-8）²+k,其图象如图2所示，且点B（7，3.26）和点N（6，3.2）在图象上．
$德优题库$
（1）求棚顶的横截面所在抛物线的表达式；
（2）某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长CD=5.5m,高DE=2.8m的矩形，若要使校车能完全倒入车棚内，且保证车顶与顶棚的竖直距离至少为0.5m,通过计算请你判断一下校车是否能完全停到车棚内，如果停不进去，需要将顶棚沿支柱AO（支柱可加长）向上至少提升多少？

共享时间:2025-06-09 难度:1 相似度:1.13

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jdfz514

2021-08-10

初中数学 | | 解答题

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2021年陕西省西安市交大附中中考数学九模试卷

更新:2021-08-10 01:23浏览量:959

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