如图在平面直角坐标系中抛物线与轴交于两点且过点抛物线与抛物线关于原点对称点在上的对应点为求抛物线的表达式写出抛物线的表达式若点在抛物线上试探究在抛物线上是否存在点使以为顶点的四边形是平行四边形并且其面积等于若存在求点的坐标若不存在请说明理由

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21111. （2021•陕西省•九模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y=

x²+bx+c与x轴交于A（-4，0）、B两点，且过点C（0，-2）．抛物线W₂与抛物线W₁关于原点对称，点C在W₂上的对应点为C′．
（1）求抛物线W₁的表达式；
（2）写出抛物线W₂的表达式；
（3）若点P在抛物线W₁上，试探究：在抛物线W₂上是否存在点Q，使以C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-08-10 难度:4

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[考点]

求二次函数的解析式，二次函数的图像，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的动点问题，二次函数的应用题，平行四边形的面积，动点平行四边形，

[答案]

（1）y=x

+x-2；（2）y=-x²+x+2；（3）Q₁ （-6，10），Q₂ （6，-4）．

[解析]

解（1）由题意得：

，∴b＝

，
∴y＝

﹣2；
（2）∵抛物线w₁：y＝

x﹣2＝

（x+1）²﹣

的顶点是（﹣1，﹣

），
∴w₂ 的顶点是（1，

），
∴w₂ 的解析式是：y＝﹣

（x﹣1）²+

＝﹣

x²+

x+2；
（3）若CC′是对角线，
∴W₁和W₂关于原点对称，
∴P、Q也关于原点对称，
∵CC′•h＝24，
∴4•h＝24，
∴h＝6，
即P点横坐标是6或﹣6，
当x＝6时，y＝

×6²+

×6﹣2＝10，
∴Q（﹣6，10），
当x＝﹣6时，y＝

×（﹣6）²﹣

×6﹣2＝4，
∴Q（6，﹣4），
当CC′是边时，PQ∥CC′，PQ＝CC′，
设点Q（x，﹣

x²+

x+2），P（x，

﹣2），
由①知：x＝6或﹣6，
当P（6，10）时，
∵y＝﹣

×6²+

×6+2＝﹣4，
∴Q（6，﹣4），
∴PQ＝14≠4，
当x＝﹣6时，y＝﹣

×（﹣6）²+

×（﹣6）+2＝﹣10，
∴PQ＝14，
∴PQ≠CC′，
∴CC′不能为边，
综上所述，当C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，并且其面积等于24时，点Q的坐标是（﹣6，10）或（6，﹣4）．

[点评]

本题考查了"求二次函数的解析式,二次函数的图像,二次函数的性质,二次函数图像上点的坐标特征,二次函数的动点问题,二次函数的应用题,平行四边形的面积,动点平行四边形"，属于"压轴题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21439. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-21 难度:4 相似度:1.46

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19854. （2021•陕西省•真题）已知抛物线y＝﹣x²+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-25 难度:4 相似度:1.3

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.17

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.13

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.13

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781. （2019•陕西省•副题）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:1.13

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20185. （2021•西工大附中•五模）在平面直角坐标系中，经过点（1，﹣10），（2，﹣12）的抛物线y＝ax²+bx﹣6与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线确定一点P，使∠ACP＝90°，求点P的坐标；
（3）是否在x轴上存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-03 难度:4 相似度:1

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4763. （2018•高新一中•模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝x²+（3﹣m）x经过点A（﹣2，0）．
（1）将抛物线C沿直线y＝1轴对称的抛物线记为C₁，求抛物线C₁的顶点坐标；
（2）将抛物线C沿直线y＝n轴对称的抛物线记为C₂，设C与C₂的交点记为点M，点N，C的顶点记为F，C₂的顶点记为E，若四边形MFNE中有一个内角等于60°，求C₂的解析式．
$德优题库$

共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:0.92

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68. （2019•永州市•真题）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:0.92

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22986. （2021•铁一中学•九上期中） $德优题库$ 已知二次函数y=ax²+bx-3a经过点A（-1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接AC、CD、DB，求S_{四边形ACDB}；
（3）在该抛物线上是否存在点P，使得S_△ABP=S_{四边形ACDB}？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-11-15 难度:4 相似度:0.88

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20479. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:0.88

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20160. （2021•西工大附中•四模）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x²﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点C、点D的坐标；
（2）将抛物线L向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线L'，抛物线L与L'的交点为P，若△PCD是以CD为直角边的直角三角形，请求出m的值．

共享时间:2021-05-31 难度:4 相似度:0.88

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19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

共享时间:2016-06-06 难度:4 相似度:0.88

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6168. （2014•师大附中•真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．