如图在等边中点是边上的一个动点不与点重合以为边作等边与交于点连接求证若且求的面积

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198238. （2023•高新一中•九上期中） $德优题库$ 如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD为边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE．
（1）求证：△ADF∽△BCD；
（2）若AB：BD=5：2，且AB=20，求△ADF的面积．

共享时间:2023-11-10 难度:2

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[考点]

等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，

[答案]

（1）证明见解析；（2）

．

[解析]

（1）证明：∵△ABC与△EDC为等边三角形，
∴∠EDC＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADF+∠BDC＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BDC+∠BCD＝120°，
∴∠ADF＝∠BCD，
又∵∠DAF＝∠CBD，
∴△ADF∽△BCD；
（2）解：过点C作CH⊥AB于H，
∵△ABC是等边三角形，AB：BD＝5：2，AB＝20，
∴BD＝8，AC＝BC＝AB＝20，
∴AD＝12，
在Rt△BCH中，∠B＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝

BC＝10，
∴CH＝

＝10

，
∴S_△BDC＝

BD•CH＝

×8×10

＝40

，
由②知△ADF∽△BCD，
∴

＝（

）²＝（

）²，
即

＝

，
∴S_△ADF＝

．

[点评]

本题考查了"等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

174121. （2024•铁一中学•九上一月）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C．

（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）若

，且AE＝4，求AB的长．

共享时间:2024-10-28 难度:1 相似度:1.5

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172940. （2024•高新一中•九上一月）如图，已知等边△ABC，D为BC边上一点，请用尺规作图法，在线段AC上找一点E，使得△ABD∽△DCE．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2024-10-23 难度:1 相似度:1.5

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189760. （2025•长安区•九上期末）如图，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．求证：

．

共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.5

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179655. （2024•铁一中学•九上期中）．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，且

．
（1）求证：∠DAC＝∠B；
（2）若AC＝4，BC＝8，△DAC的面积为9，求△ABC的面积．

共享时间:2024-11-17 难度:1 相似度:1.5

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190107. （2025•未央区•九上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠C=∠ADE，AB=3，AD=2，AC=8，求AE的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.5

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190437. （2025•铁一中学•九上期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E，∠CAB=∠CBD，已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5，求DE的长．

共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.5

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190637. （2025•二十六中•九上期末）如图，点E是△ABC的边BC上的点，AB＝18，AE＝15．若∠BAE＝∠CAD，

，求证：∠C＝∠D．

共享时间:2025-03-01 难度:1 相似度:1.5

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173451. （2024•西光中学•九上一月） $德优题库$ 已知：如图，△ABC中，AB=4，BC=8，D为BC边上一点，BD=2．
求证：∠BDA=∠BAC．

共享时间:2024-10-27 难度:1 相似度:1.5

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174972. （2024•西安三中•九上二月）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB、AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．

共享时间:2024-12-29 难度:1 相似度:1.5

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192578. （2024•碑林区•八下一月） $德优题库$ 如图，△ABC是等边三角形，在直线BC的下方有一点D，且DB=DC，连接AD交BC于点E．
（1）求证：AD垂直平分BC；
（2）过点D作DF∥AB，AC=5，FC=2，求DF的长．

共享时间:2024-04-24 难度:1 相似度:1.5

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195975. （2025•莲湖区•七上期末） $德优题库$ 如图，该直三棱柱的高为9cm,底面是一个边长都为5cm的等边三角形．
（1）这个直三棱柱有条棱．
（2）这个直三棱柱所有的棱长的和是多少？

共享时间:2025-02-06 难度:1 相似度:1.5

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196027. （2025•鄠邑区•九上期末） $德优题库$ 已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证：AC²=AD•AB．

共享时间:2025-02-28 难度:1 相似度:1.5

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27930. （2023•汇知中学•九上期中）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边△ABC中，点P是边BC上一点，且BP=

连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ．则CQ的长为；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰△ABC中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ．试说明∠ABC与∠ACQ相等；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点Q是正方形APEF的对称中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为12，CQ=

，求正方形ADBC的边长．
$德优题库$