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首页 > 试题列表 > 单题解析
23922. （2022•高新一中•二模） 问题提出
（1）如图①，△ABC为等边三角形，若AB=2，则△ABC的面积为        ．
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=3，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD=1，求图中阴影部分的面积．
问题解决
（3）如图③，是某公园的一个圆形施工区示意图，其中⊙O的半径是4米，公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD，连接AC、BD，现准备在△ADC区域种植花卉供游人欣赏．按设计要求，A、B、C、D四个点都在圆上，∠ADB=∠BDC=60°．设BD的长为x米，△ADC的面积为y平方米．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，为让游人有更好的观赏体验，△ADC花卉区域的面积越大越好，那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值．
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共享时间:2022-03-14 难度:5
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[考点]
求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与面积最值问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，圆的综合题，
[答案]
答案详见解析
[解析]
解：（1）如图①，AD⊥BC，

∵△ABC为等边三角形，AB＝2，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，＝sinB＝sin60°，
∴＝，
∴AD＝，
∴△ABC的面积＝AB•AD＝×2×＝，
故答案为：；
（2）如图②，过点D作DH⊥BC于点H，

∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝45°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DEB+∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝90°﹣∠DBE＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝ED，
∵DH⊥BC，
∴BH＝EH，
∴DH＝BE＝BH＝EH，
设DH＝BH＝EH＝a，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵DH⊥BC，
∴AB∥DH，
∴△CDH∽△CAB，
∴＝＝，
∵AD＝1，AC＝3，
∴CD＝3﹣1＝2，
∴＝＝，
∴AB＝a，CE＝a，
∴BC＝CE+BE＝a+2a＝3a，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴a2+9a2＝9，
∴a2＝1，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△BDE
＝AB•BC﹣BE•DH
＝×a•3a﹣×2a•a
＝a2﹣a2
＝a2
＝1；
（3）①设AC与BD相交于点E，连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥AB于点H，

∵∠ADB＝∠BDC＝60°，
∴AB＝BC，∠BAC＝∠BDC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
同理△ABO≌△CBO（SSS），
∴S△ABO＝S△ACO＝S△CBO，
∴S△ABC＝3S△ABO，
∵∠AOB＝2∠ACB，
∴∠AOB＝120°，
在Rt△OAH和Rt△OBH中，
，
∴Rt△OAH≌Rt△OBH（HL），
∴∠AOH＝∠BOH，AH＝BH，
在Rt△OAH中，OA＝4，∠AOH＝∠AOB＝60°，
∴cos∠AOH＝cos60°＝＝，sin∠AOH＝sin60°＝＝，
∴OH＝OA＝2，AH＝OA＝2，
∴AB＝2AH＝4，
∴S△ABC＝3S△ABO＝3××4×2＝12，
∵∠ABE＝∠DBA，∠BAE＝∠BDA＝60°，
∴△ABE∽△DBA，
∴＝＝＝，
即S△DBA＝S△ABE，
∵∠CBE＝∠DBC，∠BCE＝∠BDC＝60°，
∴△CBE∽△DBC，
∴＝＝＝，
即S△DBC＝S△CBE，
∴S四边形ABCD＝S△DBA+S△DBC
＝S△ABE+S△CBE，
＝（S△ABE+S△CBE）
＝S△ABC
＝×12
＝x2，
∴S△ADC＝S四边形ABCD﹣S△ABC
＝x2﹣12，
即y＝x2﹣12；
∵BD的长度大于AB，小于等于直径，
∴4＜x≤8，
∴y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12（4＜x≤8）；
②由①知，y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12，
则对称轴为y轴，
∵＞0，
∴x＞0时，y随x的增大而增大，
∵4＜x＜8，
∴当x＝8时，y有最大值，
即当BD为⊙O的直径时，y取最大值，
即y＝×82﹣12＝4，
∴花卉区域△ADC面积的最大值是4．
[点评]
本题考查了"求二次函数的解析式,二次函数的性质,二次函数与面积最值问题,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,圆周角定理,圆的综合题"，属于"压轴题"，难度较大，熟悉题型是解题的关键。
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本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！ ！版权申诉
61. （2020•北京市•真题） 在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.11
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806. （2015•陕西省•真题） 如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE．

 
共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.11
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1045. （2019•陕西省•真题） 如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．
                                                                                                                     
共享时间:2019-07-05 难度:3 相似度:1.11
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838. （2014•陕西省•真题） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．
求证：AB=BF．

                                                                                                                  
共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.11
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775. （2019•陕西省•副题） 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，过点D作DE∥AB，并与AC交于点E，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接AF．
求证：AF∥BC．
共享时间:2019-07-10 难度:3 相似度:1.11
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3119. （2018•滨河中学•真题） 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:1.01
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1144. （2020•陕西省•副题） 已知抛物线L：y=-x2+bx+c过点（-3，3）和（1，-5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA=1：4，求满足条件的点P的坐标．
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共享时间:2020-07-31 难度:4 相似度:0.89
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2770. （2020•益新中学•模拟） 如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠B=2∠ACE，在BA的延长线上有一点P，使得∠P=∠BAC，弦CE交AB于点F，连接AE．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若AF＝2，AE＝EF＝，求OA的长．
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共享时间:2020-06-26 难度:3 相似度:0.72
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878. （2013•陕西省•真题） 如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线l于B、C两点．
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；
（2）当⊙O的半径R=5，BD=12时，求tan∠ACB的值．
                                                                                             
共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:0.72
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650. （2019•陕西省•副题） 如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．
                                                                                                                                  
共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:0.72
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850. （2014•陕西省•真题） 问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

 
共享时间:2014-09-18 难度:3 相似度:0.66
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1001. （2018•陕西省•真题） 问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为　 　．
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
共享时间:2018-07-02 难度:5 相似度:0.62
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921. （2017•陕西省•真题） 问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　     ；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）
共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:0.62
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4514. （2018•师大附中•模拟） 问题探究
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝4，请在直线BC上方找一点Q，使△BQC是以BC为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形ABCD的面积，并求出此时△BQC的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠C＝120°，AB＝4，在△ABC所在的平面上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，且∠AMB＝60°？若存在，请在图2中画出所有符合条件的点M位置；若不存在，请说明理由；
问题解决
（3）如图3，现在有一块直角三角形钢板，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝3，工人师傅想用它裁出面积最大的△ABP，且∠APB＝60°，请在图3中画出符合要求的点P，并求出△ABP的最大面积．
共享时间:2018-06-04 难度:5 相似度:0.62
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780. （2019•陕西省•暑假） 如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．
共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:0.61
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gxyz515

2022-03-14

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