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23922. (2022•高新一中•二模) 问题提出
(1)如图①,△ABC为等边三角形,若AB=2,则△ABC的面积为        
问题探究
(2)如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=3,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE⊥BD交BC边于点E.若AD=1,求图中阴影部分的面积.
问题解决
(3)如图③,是某公园的一个圆形施工区示意图,其中⊙O的半径是4米,公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD,连接AC、BD,现准备在△ADC区域种植花卉供游人欣赏.按设计要求,A、B、C、D四个点都在圆上,∠ADB=∠BDC=60°.设BD的长为x米,△ADC的面积为y平方米.
①求y与x之间的函数关系式;
②按照设计要求,为让游人有更好的观赏体验,△ADC花卉区域的面积越大越好,那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值.
德优题库
共享时间:2022-03-14 难度:5
[考点]
求二次函数的解析式,二次函数的性质,二次函数与面积最值问题,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,圆周角定理,圆的综合题,
[答案]
答案详见解析
[解析]
解:(1)如图①,ADBC

∵△ABC为等边三角形,AB=2,
∴∠B=60°,BCAB=2,
ADBC
∴∠ADB=90°,
在Rt△ABD中,=sinB=sin60°,

AD
∴△ABC的面积=ABAD×2×
故答案为:
(2)如图②,过点DDHBC于点H

∵∠ABC=90°,BD是△ABC的角平分线,
∴∠DBC=∠ABD=45°,
DEBD
∴∠BDE=90°,
∴∠DEB+∠DBE=90°,
∴∠DEB=90°﹣∠DBE=90°﹣45°=45°,
BDED
DHBC
BHEH
DHBEBHEH
DHBHEHa
∵∠ABC=90°,
ABBC
DHBC
ABDH
∴△CDH∽△CAB

AD=1,AC=3,
CD=3﹣1=2,

ABaCEa
BCCE+BEa+2a3a
AB2+BC2AC2
a2+9a2=9,
a2=1,
S阴影SABCSBDE
ABBCBEDH
×a3a×2aa
a2a2
a2
=1;
(3)①设ACBD相交于点E,连接OBOAOC,过点OOHAB于点H

∵∠ADB=∠BDC=60°,
ABBC,∠BAC=∠BDC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,ABACBC
在△ABO和△ACO中,

∴△ABO≌△ACOSSS),
同理△ABO≌△CBOSSS),
SABOSACOSCBO
SABC=3SABO
∵∠AOB=2∠ACB
∴∠AOB=120°,
在Rt△OAH和Rt△OBH中,

∴Rt△OAH≌Rt△OBHHL),
∴∠AOH=∠BOHAHBH
在Rt△OAH中,OA=4,∠AOHAOB=60°,
∴cos∠AOH=cos60°=,sin∠AOH=sin60°=
OHOA=2,AHOA=2
AB=2AH=4
SABC=3SABO=3××4×2=12
∵∠ABE=∠DBA,∠BAE=∠BDA=60°,
∴△ABE∽△DBA

SDBASABE
∵∠CBE=∠DBC,∠BCE=∠BDC=60°,
∴△CBE∽△DBC

SDBCSCBE
S四边形ABCDSDBA+SDBC
SABE+SCBE
SABE+SCBE
SABC
×12
x2
SADCS四边形ABCDSABC
x2﹣12
yx2﹣12
BD的长度大于AB,小于等于直径,
∴4x≤8,
yx之间的函数关系式为yx2﹣12(4x≤8);
②由①知,yx之间的函数关系式为yx2﹣12,
则对称轴为y轴,
>0,
x>0时,yx的增大而增大,
∵4x<8,
∴当x=8时,y有最大值,
即当BD为⊙O的直径时,y取最大值,
y×82﹣12=4
∴花卉区域△ADC面积的最大值是4
[点评]
本题考查了"求二次函数的解析式,二次函数的性质,二次函数与面积最值问题,等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,圆周角定理,圆的综合题",属于"压轴题",难度较大,熟悉题型是解题的关键。
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196946. (2024•交大附中•九上期末) 德优题库如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,BD为直径,点D为弧AC的中点,延长AD、BC交于点E,DF为⊙O的切线.
(1)求证:∠CDF=∠EDF;
(2)若DF=EF=2,求AD的长.
共享时间:2024-02-20 难度:3 相似度:1.33
6494. (2017•西安市•模拟) 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+cx轴交于A(﹣1,0),B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;
(3)点Q在直线BC上方的抛物线上,是否存在点Q使△BCQ的面积最大,若存在,请求出点Q坐标.
共享时间:2017-06-23 难度:4 相似度:1.24
175954. (2024•交大附中•九上二月) 如图,AB是⊙O的直径,经过⊙O上一点D,作⊙O的切线EF,交AB的延长线于点FAEEF,交BD的延长线于点C
(1)求证:ABAC
(2)若⊙O的半径为3,,求BF的长.
共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:1.22
179582. (2024•爱知中学•八上期中) ABC中,若ABBCAC,则这个三角形是等边三角形,小红和小顺在学习了直角三角形的相关知识后,利用课余时间又研究了等边三角形,如图1,她们发现等边三角形的高,她们继续深入探究了以下问题:
在等边△ABC中,BD是等边△ABC的边AC上的高,P是射线DB上一动点,以AP为边向右侧作等边△APEAPE按逆时针排列).

(1)如图2,当点P在线段BD上时,连接CE,则BPCE的数量关系是       BCCE的位置关系是         
(2)若,求PD的长.
共享时间:2024-11-19 难度:2 相似度:1.22
6039. (2017•铁一中学•模拟) 已知如图,点D在等边△ABC的边AB上,作DG∥BC,交AC于点G,点F在边AC上,连接DF并延长,交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.
德优题库
共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.22
198238. (2023•高新一中•九上期中) 德优题库如图,在等边△ABC中,点D是AB边上的一个动点(不与点A,B重合),以CD为边作等边△EDC,AC与DE交于点F,连接AE.
(1)求证:△ADF∽△BCD;
(2)若AB:BD=5:2,且AB=20,求△ADF的面积.
共享时间:2023-11-10 难度:2 相似度:1.22
191792. (2024•远东二中•八下一月) 德优题库如图所示,A、C、B三点共线,△DAC与△EBC都是等边三角形,AE、BD相交于点P,且分别与CD、CE交于点M,N.
(1)求证:△ACE≌△DCB
(2)求∠APD的度数
共享时间:2024-04-29 难度:2 相似度:1.22
181106. (2024•爱知中学•九下一月) 如图,AB为⊙O的直径,点D为⊙O上一点,过点B作⊙O切线交AD延长线于点CCE平分∠ACBCEBD交于F
(1)求证:BEBF
(2)若⊙O半径为2,,求DF的长度.

共享时间:2024-04-24 难度:2 相似度:1.22
24843. (2022•爱知中学•八下期中) 德优题库已知:如图,△ABC为等边三角形,AE=BD,AD,CE相交于点F.
(1)求证:AD=CE;
(2)求∠AFC的度数;
(3)若CP⊥AD于P,PF=7,EF=2,求CE的长.
共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.22
26025. (2024•滨河中学•四模) 如图,AB是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线,与AB的延长线交于点D,点E是⊙O上一点,=,延长AE与DC的延长线交于点F,AG、BG是⊙O的弦,AG=AE.
(1)求证:AF⊥DF;
(2)若AG=6,BG=8,求线段DF的长.
德优题库
共享时间:2024-04-05 难度:2 相似度:1.22
26017. (2024•滨河中学•六模) 如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,BD⊥CD,DB的延长线与⊙O交于点E.
(1)求证:∠ABE=2∠A;
(2)若tanA,BD=4,求BE的长.
德优题库
共享时间:2024-04-05 难度:2 相似度:1.22
199067. (2022•师大附中•八下期中) 德优题库已知:如图等边三角形ABC中,D是AC中点,过C作CE∥AB,且AE⊥CE,求证:BD=AE.
共享时间:2022-05-21 难度:2 相似度:1.22
196308. (2024•高新一中•九上期末) 如图,AB是⊙O的直径,EF与⊙O相切于点E,点C在⊙O上,连接CACB,且∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上.
(1)求证:∠AFE=∠ABC
(2)若BF=1,,求BC的长.
共享时间:2024-02-28 难度:2 相似度:1.22
20186. (2021•西工大附中•五模) 问题提出
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,ACBC.过点C作直线l,再分别过点ABAMlMBNlN.则线段MNAMBN之间的数量关系为___________
(2)如图②,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=30,BC=40,点PAB上,点EF分别是边ACBC上,且∠ABC=∠FPBPEPF.设BPx,求四边形CEPF的面积yx之间的函数关系式;
(3)如图③是一个圆形广场,其中四边形ACBD规划为园林绿化区(四个顶点均在圆上),且要求∠ACB=90°,AC=30米,BC=40米,连接ABCD交于点P.为了更好的美化环境,需要在ACBC边上分别确定点EF,且满足∠ABC=∠FPBPEPF.为了整体布局,计划在四边形CEPF内种植花卉,在四边形ACBD剩余区域种植草坪.已知花卉每平方米的价格是60元,草坪每平方米的价格是90元,从实用角度希望四边形CEPF的面积最大.根据设计要求,求出当四边形CEPF的面积最大时种植花卉和草坪的总费用.

 
共享时间:2021-06-03 难度:5 相似度:1.19
189831. (2025•高新一中•九上期末) 求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:
(1)y=2x2-4x+13
(2)y=x(6-x)
共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.11

gxyz515

2022-03-14

初中数学 | | 解答题

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2020*西工大*期末
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