如图在平行四边形中对角线的垂直平分线分别与相交于点求证四边形是菱形若且求

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197818. （2024•铁一中学•九上期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AC＝40，EF＝30，且

，求AB．

共享时间:2024-11-16 难度:3

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[考点]

勾股定理，菱形的判定，锐角三角函数的定义，

[答案]

（1）见详解；（2）40．

[解析]

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠FCA＝∠ECA，
在△AOE和△COF中

，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF垂直平分AC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）如图，作AM⊥BF垂足为M，
┐┐∵AC＝40，EF＝30，四边形AECF是菱形，
∴OF＝15，OC＝20，
∴CF＝

＝25，
S_菱形＝

＝

＝600，
S_△ACF＝300＝

＝

，
∴AM＝24，
在Rt△AMB中，

，
∴

，
∴AB＝

＝

＝40．

[点评]

本题考查了"勾股定理，菱形的判定，锐角三角函数的定义，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21432. （2020•铁一中学•八模）如图，请用尺规作图法，在矩形ABCD的边BC和AD上分别找一点E、F使得四边新AECF为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2020-07-21 难度:3 相似度:0.83

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20472. （2020•铁一中学•八模） $德优题库$ 如图，请用尺规作图法，在矩形ABCD的边BC和AD上分别找一点E、F使得四边新AECF为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:0.83

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2895. （2019•益新中学•模拟）如图，PB为⊙O的切线，B为切点．过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若

，且OC＝4，求PA的长．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:0.83

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807. （2015•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:0.66

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23086. （2021•高新一中•九上期中）如图，在水平地面上，有一盏垂直于地面的路灯AB，在路灯前方竖立有一木杆CD．已知木杆长CD=2.5米，木杆与路灯的距离BC=5米，并且在D点测得灯源A的仰角为39°，请在图中画出木杆CD在灯光下的影子（用线段表示），并求出影长．
（结果保留1位小数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.8）
$德优题库$

共享时间:2021-11-25 难度:4 相似度:0.66

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6314. （2016•西工大附中•真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．
求证：四边形ADCF是菱形．

共享时间:2017-06-26 难度:3 相似度:0.66

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23009. （2021•高新一中•八上期中） $德优题库$ 已知等腰三角形ABC的底边BC=2

cm，D是腰AB上一点，且CD=4cm，BD=2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:0.66

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21107. （2021•交大附中•九模）西安进行老旧小区改造，为方便老年人通行，计划将某小区一段斜坡进行改造，如图所示，斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=25°，改造后坡角∠CAD降为12°．求斜坡新起点A与原起点B的距离AB．参考数据（sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
$德优题库$

共享时间:2021-08-10 难度:4 相似度:0.66

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6161. （2017•师大附中•模拟）如图，已知线段AB，以线段AB为边作一个菱形ABCD，使得∠A=60°．（尺规作图，保留作图痕迹）

共享时间:2017-06-21 难度:3 相似度:0.66

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3143. （2018•滨河中学•真题）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，tanB＝

，求⊙O的半径．
$德优题库$

共享时间:2019-05-31 难度:3 相似度:0.66

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361. （2012•红星高中•真题）如图，正三角形ABC的边长为3+

．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．