如图在中点在对角线上且过点作连接使求证四边形是菱形若求的长

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190643. （2025•二十六中•九上期末）如图，在▱ABCD中，点F在对角线AC上，且AB＝AF，过点F作EF∥AB，连接BE，使∠E＝∠BAC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AD＝10，BE＝6，tan∠CBE＝

，求AC的长．

共享时间:2025-03-01 难度:5

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[考点]

平行线的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，

[答案]

（1）证明见解析；

（2）4

+4．

[解析]

（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E+∠ABE＝180°，
∵∠E＝∠BAC，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∴AC∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
由（1）可知，AC∥BE，
∴∠ACB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAH＝∠ACB，
∴∠DAH＝∠CBE，
∴tan∠DAH＝tan∠CBE＝

，
在Rt△ADH中，tan∠DAH＝

＝

，
∴AH＝2DH，
设DH＝x（x＞0），则AH＝2x，
由勾股定理得：DH²+AH²＝AD²，
即x²+（2x）²＝10²，
解得：x＝2

，
∴DH＝2

，AH＝4

，
由（1）可知，四边形ABEF是菱形，
∴CD＝AB＝BE＝6，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：CH＝

＝

＝4，
∴AC＝AH+CH＝4

+4．

[点评]

本题考查了"平行线的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

1087. （2020•陕西省•真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

共享时间:2020-07-30 难度:3 相似度:1.2

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6520. （2017•高新一中•模拟）观察思考：如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB＝CD＝4cm．已知a∥b，a、b间的距离为

cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A₁BC．
（1）当A₁、D两点重合时，则 AC＝　　cm．
（2）当A₁、D两点不重合时，
①连接A₁D，探究A₁D与BC的位置关系，并说明理由．
②若以A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出AC的长．

共享时间:2017-06-20 难度:5 相似度:0.98

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21201. （2019•爱知中学•一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB于点G，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，连接CE，交AB于点F．
（1）求证：PC=PF．
（2）若CF=12，PG=13，且tan∠PCF=

，求⊙O的半径．

共享时间:2019-05-20 难度:3 相似度:0.9

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21112. （2021•交大附中•九模）问题提出：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2

，则∠A的大小为；
问题探究：
（2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于O．若AC=8，BD=6，∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；
问题解决：
（3）在西安市“三河一山”生态绿道长廊建设中．规划将某条绿道一侧的四边形区域修建成主题公园．设计要求：如图③，四边形ABCD中，AD=160m，BC=CD，∠ABC=∠BCD=120°．求这个主题公园的最大面积．
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