如图抛物线经过原点与轴的另一个交点为将抛物线向右平移个单位得到抛物线交轴于两点点在点的左边交轴于点求抛物线的解析式及顶点坐标以为斜边向上作等腰直角三角形当点落在抛物线的对称轴上时求抛物线的解析式若抛物线的对称轴存在点使为等边三角形求的值

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6519. （2017•高新一中•模拟）如图，抛物线C₁：y＝x²+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C₁向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，C₂交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C₁的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C₂的对称轴上时，求抛物线C₂的解析式；
（3）若抛物线C₂的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．

共享时间:2017-06-20 难度:4

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[考点]

求二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的动点问题，二次函数综合应用，隐形圆专题，

[答案]

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[解析]

解：（1）∵抛物线C₁经过原点，与X轴的另一个交点为（2，0），
∴

，解得

，
∴抛物线C₁的解析式为y＝x²﹣2x，
∴抛物线C₁的顶点坐标（1，﹣1），
（2）如图1，

∵抛物线C₁向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，
∴C₂的解析式为y＝（x﹣m﹣1）²﹣1，
∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m²+2m），
过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠CDH+∠ADE＝90°
∴∠HCD＝∠ADE，
∵∠DEA＝90°，
∴△CHD≌△DEA，
∴AE＝HD＝1，CH＝DE＝m+1，
∴EH＝HD+DE＝1+m+1＝m+2，
由OC＝EH得m²+2m＝m+2，解得m₁＝1，m₂＝﹣2（舍去），
∴抛物线C₂的解析式为：y＝（x﹣2）²﹣1．
（3）如图2，连接BC，BP，

由抛物线对称性可知AP＝BP，
∵△PAC为等边三角形，
∴AP＝BP＝CP，∠APC＝60°，
∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠CBO＝

∠CPA＝30°，
∴BC＝2OC，
∴由勾股定理得OB＝

＝

OC，
∴

（m²+2m）＝m+2，
解得m₁＝

，m₂＝﹣2（舍去），
∴m＝

．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用隐形圆专题二次函数的动点问题二次函数的顶点坐标求二次函数的解析式 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

2896. （2015•益新中学•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:1.35

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6068. （2017•铁一中学•模拟） 24．（10分）如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2017-05-28 难度:4 相似度:1.35

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19062. （2016•交大附中•模拟）如图，已知抛物线C₁经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线C₁的函数表达式．
（2）抛物线C₂与抛物线C₁关于原点成中心对称，求抛物线C₂的函数表达式．
（3）P是抛物线C₂上的第四象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2016-06-21 难度:4 相似度:1.3

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175955. （2024•交大附中•九上二月）如图，已知抛物线：y＝ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，8），对称轴是直线

，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．

共享时间:2024-12-24 难度:5 相似度:1.2

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190371. （2025•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．点M在线段OB上，ME∥y轴，交BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△CEF与△BOC相似时，求点E的坐标．

共享时间:2025-02-06 难度:5 相似度:1.2

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189765. （2025•长安区•九上期末）如图，已知抛物线y＝ax²+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m，若△FCG是以GF，GC为腰的等腰三角形时，求出m的值．

共享时间:2025-02-02 难度:5 相似度:1.2

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189714. （2025•师大附中•九上期末）某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知OA=12米，OA的垂直平分线与抛物线交于点P，与OA交于点H，点P是抛物线的顶点，且PH=9米．如图2，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段OB、AB），且∠OBA=90°．在PH上有个照明灯E，经过照明灯E的横梁CD与OA平行．若照明灯E到支架顶端B的距离与横梁CD之和恰为6米（即BE+CD=6），求横梁CD的长．
$德优题库$

共享时间:2025-02-15 难度:5 相似度:1.2

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181185. （2023•爱知中学•九上四月） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点（2，-2）和（-6，10），且与x轴相交于A、B两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）已知点M、N是平面上的两个点，且M点在x轴的上方，若以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请求出点M的坐标．

共享时间:2023-01-10 难度:5 相似度:1.2

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181159. （2023•爱知中学•） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L₁：y=ax²-2x+c经过点A（-1，0）和点C（0，-3），将抛物线L₁沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线L₂．
（1）求抛物线L₁与L₂的表达式；
（2）若点P在抛物线L₂上，且在x轴下方，过点P作PD⊥x轴于点D，连接PO，若△AOC与△POD相似，请求出点P的坐标．

共享时间:2022-12-01 难度:5 相似度:1.2

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173843. （2024•高新一中•九上二月）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（3，0），OC＝2，AB＝4，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若直线BC与抛物线的对称轴交于点E，点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以D、E、P、Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-12-10 难度:5 相似度:1.2

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174030. （2024•西工大附中•九上二月） $德优题库$ 如图，关于x的二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和线段BC的长；
（2）在抛物线对称轴上找一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标．

共享时间:2024-12-10 难度:5 相似度:1.2

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191891. （2023•经开二校•九上二月）直线y＝

与抛物线y＝（x﹣3）²﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．
①求点B的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+

CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是　　．

共享时间:2023-12-12 难度:5 相似度:1.2

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6244. （2017•铁一中学•模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知：抛物线y＝ax²+bx+3经过点P（1，4）和点Q（2，﹣3）．
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况．
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形．请你写出平移过程，并说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:4 相似度:1.2

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173601. （2024•铁一中学•九上二月）如图1，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c交x轴于A（1，0），B（﹣3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段EF长度最大时，求M点的坐标；
（3）如图2，是否存在点E，使得tan∠FCE＝3，若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．