如图已知点是等边内一点连接为外一点且连接求证若求的度数

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180983. （2024•高新二中•八下一月） $德优题库$ 如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP=60°，连接DP，DC，AD=DP．
（1）求证：△ADC≌△APB；
（2）若PA=15，PB=8，PC=17，求∠APB的度数．

共享时间:2024-04-24 难度:4

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相似

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[考点]

等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，

[答案]

（1）见解析；

（2）∠APB＝150°．

[解析]

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∵∠DAP＝60°，AD＝DP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠PAB＝60°﹣∠PAC，
在△ADC与△APB中，

，
∴△ADC≌△APB（SAS）；
（2）解：∵△ADC≌△APB，
∴CD＝PB＝8，∠APB＝∠ADC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠PAD＝60°，AD＝AP，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠ADP＝60°，PD＝PA＝15，
∵PC＝17，
∴CD²+PD²＝PC²，
∴∠PDC＝90°，
∴∠APB＝∠ADC+∠ADP＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°．

[点评]

本题考查了"等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，"，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

179582. （2024•爱知中学•八上期中） △ABC中，若AB＝BC＝AC，则这个三角形是等边三角形，小红和小顺在学习了直角三角形的相关知识后，利用课余时间又研究了等边三角形，如图1，她们发现等边三角形的高

，她们继续深入探究了以下问题：
在等边△ABC中，BD是等边△ABC的边AC上的高，P是射线DB上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列）．

（1）如图2，当点P在线段BD上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　　，BC与CE的位置关系是　　；
（2）若

，

，求PD的长．

共享时间:2024-11-19 难度:2 相似度:1.5

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6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
$德优题库$

共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.5

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24843. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=BD，AD，CE相交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠AFC的度数；
（3）若CP⊥AD于P，PF=7，EF=2，求CE的长．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.5

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179904. （2024•爱知中学•八下期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90° D为AB边上一点，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转 90° 到CE，连接AE．
（1）求证：AE＝DB．
（2）若

，

，求四边形AECD的面积．

共享时间:2024-05-12 难度:4 相似度:1.5

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191792. （2024•远东二中•八下一月） $德优题库$ 如图所示，A、C、B三点共线，△DAC与△EBC都是等边三角形，AE、BD相交于点P，且分别与CD、CE交于点M，N．
（1）求证：△ACE≌△DCB
（2）求∠APD的度数

共享时间:2024-04-29 难度:2 相似度:1.5

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172940. （2024•高新一中•九上一月）如图，已知等边△ABC，D为BC边上一点，请用尺规作图法，在线段AC上找一点E，使得△ABD∽△DCE．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2024-10-23 难度:1 相似度:1.25

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181537. （2023•曲江一中•九上一月） $德优题库$ 如图，点E，F在△ABC的边AC上，且EF=BC，DE∥BC，∠DFE=∠B．求证：DE=AC．

共享时间:2023-10-14 难度:1 相似度:1.25

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181323. （2024•未央区•七下二月） $德优题库$ 已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD的右侧作等腰三角形ADE，∠DAE=∠BAC，AD=AE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时，请探究BC，CD，CE之间的数量关系．
（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，（1）中BC，CD，CE之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由．

共享时间:2024-06-18 难度:1 相似度:1.25

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181372. （2024•经开一中•八下一月）如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝

，求AD的长．

共享时间:2024-04-18 难度:1 相似度:1.25

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181393. （2024•经开一校(原经发)•七下二月） $德优题库$ 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
（1）作出四边形ABCD关于直线AC对称的四边形AB′CD′；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若在直线AC上有一点P，使得P到D、E的距离之和最小，请作出点P（请保留作图痕迹），且求出PC= ．

共享时间:2024-06-10 难度:1 相似度:1.25

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181395. （2024•经开一校(原经发)•七下二月） $德优题库$ 已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠E=∠C．

共享时间:2024-06-10 难度:1 相似度:1.25

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21716. （2021•交大附中•七模）问题提出
（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是，位置关系是；
$德优题库$
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC=BC，若BD=3，AD=9，求CD的长；
问题解决
（3）如图③是某公园的一个面积为36π m²的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC、AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，设AD的长为x，△BDC的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当点D为

的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．