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2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新二中八年级（下）第一次月考数学试卷

试卷总分:120分命题人:dyczsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共24分)

1. （本题3分）下列环保标志中，是中心对称图形的是（　　）

A. $德优题库$

B. $德优题库$

C. $德优题库$

D. $德优题库$

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2. （本题3分）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　）

A.4a²-4a+1=4a（a-1）

B.（x+2）（x-2）=x²-4

C.x²-4+3x=（x+2）（x-2）+3x

D.x²-4=（x+2）（x-2）

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3. （本题3分）若（m-1）x＞m-1的解集是x＜1，则m的取值范围是（　　）

A.m＞1

B.m≤-1

C.m＜1

D.m≥1

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4. （本题3分）把多项式a³b⁴-abⁿc因式分解时，提取的公因式是ab⁴，则n的值可能为（　　）

A.5

B.3

C.2

D.1

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5. （本题3分） $德优题库$ 如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了80°，小孩的位置也从A点运动到了B点，则∠OAB的度数为（　　）

A.70°

B.60°

C.50°

D.40°

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6. （本题3分） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A₁B₁C₁，那么点A的对应点A₁的坐标为（　　）

A.（4，3）

B.（2，4）

C.（3，1）

D.（2，5）

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7. （本题3分） $德优题库$ 如图，直线y₁=x+b与y₂=kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b＞kx-1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A. $德优题库$

B. $德优题库$

C. $德优题库$

D. $德优题库$

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8. （本题3分） $德优题库$ 在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则以下四个结论中：①△BDE是正三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE=∠BDC．其中正确的序号是（　　）

A.②③④

B.①②④

C.①②③

D.①③④

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二、填空题(5小题共15分)

9. （本题3分）因式分解：2a²-8= ．

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10. （本题3分） $德优题库$ 如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于度．

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11. （本题3分） $德优题库$ 如图，△ABC的面积为15cm²，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P．则△PBC的面积为 cm²．

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12. （本题3分）若关于x的不等式组

有且只有两个整数解，则m的取值范围是　　．

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13. （本题3分） $德优题库$ 已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，点P为AC的中点，已知D为直线BC上的一个动点，连接PE，则PE的最小值为．

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三、解答题(13小题共81分)

14. （本题6分）解下列不等式（组），并把解集表示在数轴上．
（1）3x﹣1≥2x+1．

（2）

．

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15. （本题6分）把下列各式分解因式：
（1）a（b-c）+c-b；
（2）x³-25x.

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16. （本题5分）已知5x+y=2，5y-3x=3，在不解方程组的条件下，求3（x+3y）²-12（2x-y）²的值．

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17. （本题5分） $德优题库$ 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°．请利用尺规在边BC上找一点D，使得∠ADB=60°（不写作法保留作图痕迹）．

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18. （本题6分） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A₁B₁C₁；
（2）平移△ABC，若A的对应A₂的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△A₂B₂C₂；
（3）若将△A₁B₁C₁绕某一点旋转可以得到△A₂B₂C₂，请画出旋转中心P．

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19. （本题5分）阅读下列解题过程：已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判断△ABC的形状．
解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，①
∴c²（a²-b²）=（a²-b²）（a²+b²），②
∴c²=a²+b²，③
∴△ABC为直角三角形．
（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；
（2）写出正确的解题过程．

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20. （本题5分） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．

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21. （本题5分） “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？

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22. （本题7分） $德优题库$ 如图，直线l₁：y₁=k₁x（k₁≠0）与直线l₂：y₂=k₂x+b（k₂≠0）交于点C（-2，3），直线l₂与x轴、y轴分别交于点A，B（0，4）．
（1）求k₁，k₂，b的值；
（2）直接写出不等式组k₂x+b≥k₁x≥0的解集：；
（3）点P是直线l₂上一点，且满足S_△AOP=2S_△BOC，求点P的坐标．

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23. （本题6分） $德优题库$ 如图，已知点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，D为△ABC外一点，且∠DAP=60°，连接DP，DC，AD=DP．
（1）求证：△ADC≌△APB；
（2）若PA=15，PB=8，PC=17，求∠APB的度数．

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24. （本题7分）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x²﹣2x）（x²﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路：将“x²﹣2x”看成一个整体，令x²﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m²+2m+1＝（m+1）²．再将“m”还原为“x²﹣2x”即可．
解题过程如下：
解：设x²﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m²+2m+1＝（m+1）²＝（x²﹣2x+1）²．
问题：
（1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果：　　；
（2）请你模仿以上方法，将多项式（x²+6x）（x²+6x+18）+81进行因式分解；
（3）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算：

．

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25. （本题8分）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝5，则BN的长为　　；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M、N在斜边AB上，∠MCN＝45°，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？　　（直接回答：“是或不是”）若是，当

，求BN的长，若不是，说明理由．

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26. （本题10分）综合与探究
在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角度记为α．
$德优题库$
（1）操作与证明：如图1，若α=60°，点D为边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置，连接DE，CE．写出BD和CE的数量关系：，∠BCE= °；
（2）探究与发现：如图2，若α=90°，点D变为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置，连接DE，CE．试判断BD和CE的数量关系，并说明理由；
（3）判断与思考：在（2）的探究中，若α=90°，BC=3，点D为直线BC上一点，当CD=1时，直接写出DE的长．

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dyczsxyn

2024-04-24

初中数学 | 考试 | 难度:2.69

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