如果函数满足在集合上的值域仍是集合则把函数称为函数例如就是函数判断下列函数中哪些是函数只需写出判断结果判断函数是否为函数并证明你的结论证明对于任意实数函数都不是函数注表示不超过的最大整数

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170104. （2023•铁一中学•高一上期末）如果函数f（x）满足在集合N^*上的值域仍是集合N^*，则把函数f（x）称为N函数．例如：f（x）＝x就是N函数．
（Ⅰ）判断下列函数：①y＝x²，②y＝2x﹣1，③y＝[

]中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；
（Ⅱ）判断函数g（x）＝[lnx]+1是否为N函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对于任意实数a，b，函数f（x）＝[b•a^x]都不是N函数．
（注：“[x]”表示不超过x的最大整数）

共享时间:2023-02-22 难度:1

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[考点]

函数的值域，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

（Ⅰ）解：只有y＝[

]是N函数．
（Ⅱ）函数g（x）＝[lnx]+1是N函数．
证明如下：
显然，∀x∈N^*，[lnx]+1∈N^*．
不妨设[lnx]+1＝k，k∈N^*，
由[lnx]+1＝k，可得k﹣1≤lnx＜k，
即1≤e^k^﹣1≤x＜e^k．
∵∀k∈N^*，恒有e^k﹣e^k^﹣1＝e^k^﹣1（e﹣1）＞1成立，
∴一定存在x∈N^*，满足e^k^﹣1≤x＜e^k，
∴设∀k∈N^*，总存在x∈N^*，满足[lnx]+1＝k，
∴函数g（x）＝[lnx]+1是N函数；
（Ⅲ）证明：（1）当b≤0时，有f（2）＝[b•a²]≤0，
∴函数f（x）＝[b•a^x]都不是N函数．
（2）当b＞0时，①若a≤0，有f（1）＝[b•a]≤0，
∴函数f（x）＝[b•a^x]都不是N函数．
②若0＜a≤1，由指数函数性质易得，b•a^x≤b•a，
∴∀x∈N^*，都有f（x）＝[b•a^x]≤[b•a]．
函数f（x）＝[b•a^x]都不是N函数．
③若a＞1，令b•a^m⁺¹﹣b•a^m＞2，则

，
∴一定存在正整数k，使得b•a^k⁺¹﹣b•a^k＞2，
∴∃

，使得

，
∴f（k）＜n₁＜n₂≤f（k+1）．
又∵当x＜k时，b•a^x＜b•a^k，∴f（x）≤f（k）；
当x＞k+1时，b•a^x＞b•a^k，∴f（x）≥f（k+1），
∴∀x∈N^*，都有n₁∉{f（x）|x∈N^*}，
∴函数f（x）＝[b•a^x]都不是N函数．
综上所述，对于任意实数a，b，函数f（x）＝[b•a^x]都不是N函数．

[点评]

本题考查了"函数的值域，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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