已知函数判断的零点个数求曲线与曲线公切线的条数

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167787. （2024•西安一中•三模）已知函数f（x）＝x²+3x+3，g（x）＝2e^x⁺¹﹣x﹣2．
（1）判断g（x）的零点个数；
（2）求曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）公切线的条数．

共享时间:2024-04-07 难度:2

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[考点]

函数的零点与方程根的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，

[答案]

（1）0；
（2）一条公切线．

[解析]

解：（1）g（x）的定义域为（﹣∞，+∞），g′（x）＝2e^x⁺¹﹣1，
令g′（x）＞0，得x＞﹣1﹣ln2，令g′（x）＜0，得x＜﹣1﹣ln2，可知g（x）在（﹣∞，﹣1﹣ln2）上单调递减，在（﹣1﹣ln2，+∞）上单调递增，
所以g（x）_min＝g（﹣1﹣ln2）＝ln2＞0，故g（x）的零点个数为0；
（2）因为f（x）＝x²+3x+3，g（x）＝2e^x⁺¹﹣x﹣2，所以f′（x）＝2x+3，g′（x）＝2e^x⁺¹﹣1，
所以曲线y＝f（x）在点

处的切线方程为

x₁），即

，
曲线y＝g（x）在点

处的切线方程为

1）（x﹣x₂），
即

；
令

得

消去x₂，整理得

[4﹣2ln（x₁+2）]（x₁+2）＝0，
设x₁+2＝t（t＞0），得t²﹣2tlnt﹣1＝0，等价于

＝0，
令

，因为

，
所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝0，则h（t）在（0，+∞）上有唯一的零点t＝1，
由x₁+2＝1，得x₁＝﹣1，所以曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）有且仅有一条公切线．

[点评]

本题考查了"函数的零点与方程根的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

169419. （2024•西安中学•高三上期末）已知

，g（x）＝a（x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若关于x的方程f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：a＞e²且x₁x₂＜x₁+x₂．

共享时间:2024-02-27 难度:3 相似度:1.67

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169834. （2023•西安中学•高一上期末）已知函数f（x）＝﹣2cos²x﹣sinx+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求不等式f（x）＞0的解集；
（3）若关于x的方程f（x）＝k在[0，2π]恰有4个不同的解，求k的取值范围．（直接给出答案，不用书写解答过程）．

共享时间:2023-02-28 难度:1 相似度:1.5

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168920. （2021•高陵一中•二模）已知函数f（x）＝e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直线y＝k（x﹣1）与f（x）的图像相切，求实数k的值；
（Ⅱ）设x＞0，若曲线y＝f（x）与y＝mx²（m＞0）有且只有一个公共点，求实数m的值；
（Ⅲ）设a＜b，比较

与

的大小，并说明理由．

共享时间:2021-03-23 难度:1 相似度:1.5

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170466. （2022•西工大附中•高一下期末）．已知函数f（x）＝axlnx﹣bx²﹣ax．
（Ⅰ）曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

，求a，b的值；
（Ⅱ）若a≤0，

时，∀x₁，x₂∈（1，e），都有

，求a的取值范围．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:1.5

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170467. （2022•西工大附中•高一下期末）已知函数f（x）＝a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）＝f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:1.5

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170751. （2020•西安中学•高二下期末）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数f（x）在x∈[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）的表达式；
（3）若关于t的方程g（|t|）＝k至少有4个根，求参数k的取值范围．（直接给出答案，不用书写解答过程）

共享时间:2020-07-09 难度:1 相似度:1.5

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166237. （2024•师大附中•高一上二月）已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣

+a（a∈R）．
（1）若a＝1，求关于x的方程f（x）＝1的解；
（2）若关于x的方程f（x）＝

有三个不同的正实数根x₁，x₂，x₃且x₁＜x₂＜x₃．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x₁x₂x₃＞3．

共享时间:2024-12-16 难度:1 相似度:1.5

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169149. （2020•西工大附中•二模）已知函数f（x）＝

﹣x+（x+1）ln（x+1）（a∈R）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若∀x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），求实数a的取值范围．

共享时间:2020-03-17 难度:1 相似度:1.5

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168621. （2021•西安中学•二模）已知函数f（x）＝e^x，x∈R．
（Ⅰ）若直线y＝k（x﹣1）与f（x）的图像相切，求实数k的值；
（Ⅱ）设x＞0，若曲线y＝f（x）与y＝mx²（m＞0）有且只有一个公共点，求实数m的值；
（Ⅲ）设a＜b，比较

与

的大小，并说明理由．

共享时间:2021-03-17 难度:1 相似度:1.5

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166446. （2024•西工大附中•高三上二月）．已知函数f（x）＝x³﹣x
（1）求曲线y＝f（x）在点M（1，0）处的切线方程；
（2）如果过点（1，b）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数b的取值范围．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5

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169631. （2024•西安三中•高二上期末）已知曲线f（x）＝x³﹣x，
求（1）曲线在点（﹣1，0）处的切线方程；
（2）曲线过点（﹣1，0）的切线方程；
（3）曲线平行于直线11x﹣y+1＝0的切线方程．

共享时间:2024-02-04 难度:1 相似度:1.5

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169254. （2025•西工大附中•高一上期末）已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x²+2x+3，函数

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式g（log₂x）﹣klog₂x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程

有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．

共享时间:2025-02-26 难度:2 相似度:1

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169213. （2025•师大附中•高二上期末）已知函数f（x）＝

﹣1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）已知函数g（x）＝3x³+2ax²+1，若∀x₁，x₂∈[1，e]，不等式f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2025-02-11 难度:2 相似度:1

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169481. （2024•西工大附中•高二上期末）已知函数f（x）＝lnx+x²．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数h（x）＝f（x）﹣3x的单调区间．

共享时间:2024-02-02 难度:2 相似度:1

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169593. （2024•高新一中•高一上期末）已知函数f（x）＝2^x+2^﹣x（x∈R）．
（Ⅰ）设函数g（x）＝n[f（x）﹣2^1﹣x]﹣f（2x）﹣2，若不等式g（x）＜0对任意的x∈（1，+∞）恒成立．求实数n的取值范围；
（Ⅱ）已知函数f（x）＝2^x+2^﹣x（x∈R）在（0，+∞）上单调递增，设h（x）＝log₂f（x），关于x的方程[h（x）﹣1+m][h（x）﹣1﹣4m]+2m²+m＝0有2个不同实根，求实数m的取值范围．

共享时间:2024-02-29 难度:2 相似度:1

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dygzsxyn

2024-04-07

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2024年陕西省西安一中高考数学模拟试卷（文科）（5月份）

更新:2024-04-07 02:17浏览量:6

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