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166759. (2024•建大附中•一模) 若函数fx)在[ab]上存在x1x2ax1x2b),使得f'(x2)=,则称fx)是[ab]上的“双中值函数”,其中x1x2称为fx)在[ab]上的中值点.
(1)判断函数fx)=x3﹣3x2+1是否是[﹣1,3]上的“双中值函数”,并说明理由.
(2)已知函数,存在mn>0,使得fm)=fn),且fx)是[nm]上的“双中值函数”,x1x2fx)在[nm]上的中值点.
①求a的取值范围;
②证明:x1+x2a+2.
共享时间:2024-03-13 难度:1
[考点]
利用导数研究函数的单调性,
[答案]
(1)fx)是[﹣1,3]上的“双中值函数”,理由见解析;
(2)①(0,+∞);②证明见解析.
[解析]
解:(1)函数fx)是[﹣1,3]上的“双中值函数”.理由如下:
因为fx)=x3﹣3x2+1,所以f'(x)=3x2﹣6x
因为f(3)=1,f(﹣1)=﹣3,所以
f′(x)=1,得3x2﹣6x=1,即3x2﹣6x﹣1=0,解得
因为,所以fx)是[﹣1,3]上的“双中值函数”.
(2)①因为fm)=fn),所以
因为fx)是[nm]上的“双中值函数”,所以f'(x1)=f'(x2)=0.
由题意可得f′(x)=xlnxa﹣1.
gx)=f'(x)=xlnxa﹣1,则
x∈(0,1)时,g'(x)<0,则gx)为减函数,即f'(x)为减函数;
x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,则gx)为增函数,即f′(x)为增函数,
f′(xminf′(1)=﹣a
因为f′(x1)=f′(x2)=0,所以﹣a<0,所以a>0,即a的取值范围为(0,+∞);
②证明:不妨设0<x1<1<x2
x1lnx1a﹣1=0,x2lnx2a﹣1=0,即x1lnx1a+1,x2lnx2a+1.
要证x1+x2a+2,即证x2a+2﹣x1=1﹣lnx1
hx)=gx)﹣g(1﹣lnx)=x﹣1+ln(1﹣lnx)(0<x<1),

设φ(x)=x(1﹣lnx)(0<x<1),则φ′(x)=﹣lnx>0,
所以φ(x)在(0,1)上单调递增,所以0<φ(x)<φ(1)=1,所以
hx)在(0,1)上单调递减.
因为h(1)=g(1)﹣g(1)=0,所以hx)>0,即gx)>g(1﹣lnx).
因为0<x1<1,所以gx1)>g(1﹣lnx1),
因为gx1)=gx2)=0,所以gx2)>g(1﹣lnx1),
因为0<x1<1,所以1﹣lnx1>1,
由①可知gx)在(1,+∞)上单调递增,所以x2>1﹣lnx1,即x1+x2a+2,得证
[点评]
本题考查了"利用导数研究函数的单调性,",属于"常考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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170350. (2022•长安区一中•高一上期末) 已知函数
(1)当a=1时,判断fx)在(﹣∞,0)的单调性,并用定义证明;
(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)>0恒成立,求a的取值范围;
(3)讨论fx)零点的个数.
共享时间:2022-02-23 难度:1 相似度:2
169654. (2024•交大附中•高一上期末) 已知实数a>0且a≠1,函数fx)=ax2﹣9x+3.
(1)设函数gx)=fx)﹣x,若gx)在(0,2]上恰有两个零点,求a的取值范围;
(2)设函数hx)=logafx),若hx)在[2,4]上单调递增,求a的取值范围.
共享时间:2024-02-04 难度:1 相似度:2
168759. (2021•西安中学•八模) 已知函数gx)是fx)的导函数.
(1)若gx)在(0,+∞)上单调递增,求m的取值范围;
(2)设Fx)=gx)﹣fx),证明:当时,Fx)有且仅有两个零点.
共享时间:2021-06-14 难度:1 相似度:2
169172. (2020•高新一中•三模) 已知函数fx)=lnx+x2+axa∈R),gx)=ex+x2x
(1)讨论fx)的单调性;
(2)定义:对于函数fx),若存在x0,使fx0)=x0成立,则称x0为函数fx)的不动点.如果函数Fx)=fx)﹣gx)存在不动点,求实数a的取值范围.
共享时间:2020-04-01 难度:1 相似度:2
169396. (2024•西安中学•高三上期末) 已知函数fx)=,其中m为正实数.
(1)试讨论函数fx)的单调性;
(2)设gx)=f′(x)+lnxmx2﹣1,若存在x∈[,1],使得不等式gx)<﹣2成立,求m的取值范围.
共享时间:2024-02-08 难度:1 相似度:2
169373. (2024•师大附中•高二上期末) 已知函数fx)=x3ax2a2x+5(a∈R).
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若fx)有且只有两个零点,求a的值.
共享时间:2024-02-14 难度:1 相似度:2
169920. (2023•长安区一中•高二下期末) 已知函数fx)=e=2.71828…是自然对数的底数),f'(x)是fx)的导数,gx)=(x2+xf'(x).
(1)求fx)的单调区间;
(2)证明:对任意的x>0,gx)<
共享时间:2023-07-19 难度:2 相似度:1.5
169034. (2020•西安中学•三模) 已知函数fx)=(xexx).
(1)求fx)的导函数;
(2)求fx)在区间[,+∞)上的取值范围.
共享时间:2020-04-01 难度:2 相似度:1.5
168712. (2021•西安中学•仿真) 已知函数
(Ⅰ)当a=1,求函数yfx)的图象在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)若函数fx)在(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围.
共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:1.5
170125. (2023•铁一中学•高三上期末) 设函数fx)=x3﹣(1+ax2+4ax+24a,其中常数a>1
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若当x≥0时,fx)>0恒成立,求a的取值范围.
共享时间:2023-02-08 难度:2 相似度:1.5
168781. (2021•西安中学•八模) 已知函数fx)=ex﹣(x+mlnx+m)+xm≤2.
(1)当m=1时,求函数在x=0处的切线方程;
(2)证明:函数fx)为单调递增函数.
共享时间:2021-06-19 难度:2 相似度:1.5
168828. (2021•西工大附中•十二模) 已知函数fx)=exx2mx﹣1.
(Ⅰ)当m=1时,求证:x≥0时,fx)≥0;
(Ⅱ)当m≤1时,试讨论函数yfx)的零点个数.
共享时间:2021-07-26 难度:2 相似度:1.5
168874. (2021•西工大附中•十模) 已知函数fx)=2lnxaxa∈R.
(Ⅰ)讨论fx)的单调性;
(Ⅱ)当a=﹣1时,令gx)=x2fx),其导函数为g'(x),设x1x2是函数gx)的两个零点,判断是否为g'(x)的零点?并说明理由.
共享时间:2021-07-03 难度:2 相似度:1.5
169012. (2020•西安中学•一模) 已知函数fx)=x2﹣2xlnx,函数gx)=x+,其中a∈R,x0gx)的一个极值点,且gx0)=2.
(1)讨论fx)的单调性;
(2)求实数x0a的值;
(3)证明
共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:1.5
169080. (2020•西工大附中•三模) 已知函数fx)=
(1)讨论fx)的单调性;
(2)若x1x2x1x2)是fx)的两个零点,求证:
共享时间:2020-04-06 难度:2 相似度:1.5
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2020*西工大*期末
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