设函数当时求曲线在点处的切线方程若函数在其定义域内为增函数求实数的取值范围

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168575. （2021•西安中学•九模）设函数

．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数y＝f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-06-30 难度:2

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[考点]

利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，

[校正]

[答案]

（1）y＝x﹣1；（2）实数a的取值范围是[

，+∞）．

[解析]

解：（1）f′（x）＝a（1+

）﹣

，
当a＝1时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为k＝f′（1）＝（1+1）﹣1＝1，
又f（1）＝0，故所求的切线方程为：y＝x﹣1；
（2）易知函数f（x）＝a（x﹣

）﹣lnx的定义域是（0，+∞），
由（1）知f′（x）＝a（1+

）﹣

＝

，
∵y＝f（x）在其定义域内为增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即ax²﹣x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，故a≥

，
而

＝

，且x+

≥2

＝2，
当且仅当x＝1时“＝”成立，
故0＜

＝

≤

，
故实数a的取值范围是[

，+∞）．

[点评]

本题考查了"利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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考点说明

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

231890. （2025•高新一中•高二下一月）已知函数f（x）＝e^xln（1+x）．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．

共享时间:2025-04-14 难度:2 相似度:2

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261540. （2019•陕西省•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝lnx﹣

．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x₀是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A（x₀，lnx₀）处的切线也是曲线y＝e^x的切线．

共享时间:2019-06-16 难度:2 相似度:2

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168712. （2021•西安中学•仿真）已知函数

．
（Ⅰ）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-06-05 难度:2 相似度:2

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232309. （2023•铁一中学•高三上一月）已知函数f（x）＝ae^x^﹣1﹣lnx+lna．
（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．

共享时间:2023-10-13 难度:2 相似度:2

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167944. （2023•师大附中•三模）已知函数

．
（1）设g（x）＝xf（x），求g（x）的单调区间；
（2）求证：存在恰有2个切点的曲线y＝f（x）的切线．

共享时间:2023-04-08 难度:2 相似度:2

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233095. （2024•西安八十五中•高二下四月）已知函数f（x）＝（x+a）ln（x+1）．
（1）当a＝2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

共享时间:2024-07-25 难度:2 相似度:2

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167740. （2024•西安一中•四模）已知函数f（x）＝3lnx﹣x²+x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若过点（2，1）作直线与函数

的图象相切，判断切线的条数．

共享时间:2024-04-26 难度:2 相似度:2

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167103. （2023•西安中学•高三上二月）已知函数f（x）＝e^x﹣x²+2ax．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-12-24 难度:2 相似度:2

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236759. （2015•师大附中•高二上期末）．已知函数f（x）＝e^x（ax+b）﹣x²﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x+4．
（1）求a、b的值；
（2）讨论f（x）的单调性．

共享时间:2015-02-25 难度:2 相似度:2

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169481. （2024•西工大附中•高二上期末）已知函数f（x）＝lnx+x²．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数h（x）＝f（x）﹣3x的单调区间．

共享时间:2024-02-02 难度:2 相似度:2

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237125. （2022•西工大附中•高二下期末）已知函数f（x）＝x³﹣2x²+x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求过点（1，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程．

共享时间:2022-07-01 难度:2 相似度:2

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168781. （2021•西安中学•八模）已知函数f（x）＝e^x﹣（x+m）ln（x+m）+x，m≤2．
（1）当m＝1时，求函数在x＝0处的切线方程；
（2）证明：函数f（x）为单调递增函数．

共享时间:2021-06-19 难度:2 相似度:2

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257150. （2023•陕西省•乙卷）已知函数f（x）＝（

+a）ln（1+x）．
（1）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求a的取值范围．

共享时间:2023-06-20 难度:2 相似度:2

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230552. （2025•西工大附中•十二模）已知f（x）＝

ax²+（1﹣2a）x﹣2lnx，a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）函数f（x）的图象上是否存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁≠x₂），使得直线AB与函数f（x）的图象在

处的切线平行？若存在，请求出直线AB；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-07-25 难度:2 相似度:2

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19752. （2021•陕西省•乙卷）已知函数f（x）＝x³﹣x²+ax+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．

共享时间:2021-06-21 难度:4 相似度:2

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jbp@dyw.com

2021-06-30

高中数学 | | 解答题

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2021年陕西省西安中学高考数学九模试卷（文科）

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