定义在上的函数满足则下列结论正确的有为奇函数是的一个周期

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169246. （2025•西工大附中•高一上期末）定义在R上的函数f（x）满足

，f（1）＝1，则下列结论正确的有（　　）

A.．f（0）＝2	B.f（x）为奇函数
C.6是f（x）的一个周期	D.．

共享时间:2025-02-26 难度:2

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[考点]

函数的奇偶性，函数的周期性，

[答案]

ACD

[解析]

解：由

，f（1）＝1，
令x＝y＝1，可得f（1）+f（1）＝f（1）f（0），得f（0）＝2，故A正确；
令y＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝f（0）f（x），则f（﹣x）＝f（x），
又f（x）的定义域为R，故f（x）为偶函数，故B错误；
令x＝x+1，y＝x﹣1，
可得f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），再令x＝x+1，得f（x+2）+f（x）＝f（x+1），
将两式相加得：f（x+2）+f（x﹣1）＝0，即f（x+2）＝﹣f（x﹣1），
所以f（x+3）＝﹣f（x），得f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
所以6是f（x）的一个周期，故C正确；
令x＝k，y＝0，有

，即

，
所以

＝

＝f（0）+2+f（1）+2+...+f（2024）+2
＝f（0）+f（1）+...+f（2024）+4050，
因为f（0）＝2，f（1）＝1，且f（x+2）+f（x﹣1）＝0，
令x＝0，f（2）+f（﹣1）＝0，所以f（2）＝﹣f（1）＝﹣1，
令x＝1，f（3）+f（0）＝0，所以f（3）＝﹣2，
令x＝2，f（4）+f（1）＝0，所以f（4）＝﹣1，
令x＝3，f（5）+f（2）＝0，所以f（5）＝1，
又f（x）是以6为周期的周期函数，
所以f（0）+f（1）+...+f（2024）＝337[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）]+f（0）+f（1）+f（3）＝2，
所以

＝

＝f（0）+f（1）+...+f（2024）+4050＝2+4050＝4052，故D正确．
故选：ACD．

[点评]

本题考查了"函数的奇偶性，函数的周期性，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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，则下列说法正确的是（　　）

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D.．

共享时间:2023-02-03 难度:3 相似度:0.83

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dygzsxyn

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